SÉAXCE DU 4 AOUT I919. 209 



puisse utilement Remployer ainsi; nous particulariserons en supposant, 

 dans (5 ), que, to demeurant fixe, h tend vers H- oc : alors c tendra vers le 

 point cz;, que nous supposerons ri êlre point double (V aucune substitution de V , 

 et, à la limite, les sphères 7' auront pour équation 



( 6 ) vvçri -t- -K^ ( vr — /. ) — 1 = 0, 



A et V parcourant tous les systèmes qui répondent aux substitutions (i )der. 

 La sphère (G), que nous appellerons la sphère (A,v), a pour centre, dans 



le plan t = o, le point analytique - et son rayon est — =; elle est donc tout 



à fait analogue à la circonférence (A, v) du n" 2. 



Dès lors, pour obtenir un domaine spatial de F, on cherchera encore à 

 trouver une région, située au-dessus dcT^o, qui comprenne le pointée, 

 qui soit limitée par des portions de sphères (>., v), [et peut-être par des por- 

 tions du plan 'T = o| et dans laquelle ne pénètre aucune sphère (A, v) : cette 

 région D sera un domaine de F. 



Analytiquement, les intégrales qui définissent D, dans le demi-espace, 

 sont 



(7 ) Ob ( v; — À) 4- vv„t2 — I ^ o. 



Aritlimétiquement^ ces inégalités expriment que, pour une forme 

 d'Hermite positive, axx^ -^- bx^y-"^ ^^, '" v» H-^vro? ^^nt \q point leprésen- 

 tatif est dans D, le premier coefficient, a, est le minimum delà forme quand 

 on donne, aux indéterminées r et r, les systèmes de valeurs A, v ci- 

 dessus. 



Remarque I. -^ Si oc est un point parabolique de F, laissé fixe par les 

 substitutions qui sont les puissances de z' = z + a, on ne gardera de D, 

 pour avoir un domaine de F, que la portion comprise entre deux plans 

 parallèles, distants de mod a, normaux au vecteur a du plan - = o et d'ail- 

 leurs quelconques. Si oc est laissé fixe par les puissances d'une autre substi- 

 tution de F, z' = z -h [i, on introduira encore deux nouveaux plans ana- 

 logues, ^ remplarant a. 



On reconnaît, dans ce dernier cas, la méthode que nous avons propo- 

 sée ( ') pour obtenir le domaine du groupe modulaire dans un corps quadra- 

 tique imaginaire. Elle se relie, parla remarque arithmétique qui précède, 

 à la méthode qui a permis à M. Picard de construire le domaine de ce 



(') Comptes rciutm, l. IGl, jgiô, p. 189 et 227. 



