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groupe dans le corps \/— i, en partant des conditions de réduction des 

 formes positives d'Hermite. 



Remarque IL — Les substitutions génératrices de F s'obtiennent de la 

 manière indiquée au n*' 3; on ajoutera, dans le cas parabolique, les substi- 

 tutions ::' ^ :; H- a, :;' = :^ H- ^. 



6. Groupe réel. — Les X, u., v, p étant tous réels, la circonférence princi- 

 pale devient Taxe réel. On trouvera le domaine de F par la méthode 

 du n° 5; il suffira, pour avoir les circonférences a' qui correspondent à un 

 point co du demi-plan, de faire, dans (5), h et t nuls; on a ainsi 



l'équation 



<0L [^ (voj + o) — (>.co + [j.)] — :)b(c — oj) =z o, 



qui pourrait servir à construire un domaine de F, ayant pour centre le 

 point co. 



Si to s'éloigne à l'infini, cette équation devient : 



(8) (vc — /,)(v.^o— >•) — i = o; 



c'est encore celle d'une circonférence (a,v ), de centre - et de ravon ^=- On. 



obtiendra, dès lors, un domaine fondamental D de F de la même manière 

 qu'au n'' 5, avec les circonférences (A, v), et les remarques I et II de ce 

 numéro s'appliquent encore. 



Les inégalités qui définissent D, dans le demi-plan supérieur, sont 



( v; — >.) ( V ,-0 — >.) — 1 1 o, (.- = ; + in). 



Au point de vue arithmétique, elles expriment ce qui suit : soit une forme 

 quadratique positive ax'- -\- ibxy -\- cy-\ si son point représentatif est 

 dans D, le premier coefficient a est son minimum quand on donne à x et y 

 les systèmes de valeurs A, v répondant aux substitutions de F. 



Signalons, enfin, la liaison de cette méthode avec celle de la symétrie. 



Supposons que, en adjoignant au groupe 1' la symétrie z = — z^, par 

 rapport à l'axe imaginaire, les substitutions du groupe étendu soient, outre 

 celles de F, les substitutions 



(9) - -.^.ZlilidZiî, 



— v.-„4- p 



ainsi qu'on l'admet dans l'application de la méthode de symétrie. 



Si l'on fait z = z dans (9), on obtient une circonférence de symétrie du 



