SÉANCE DU 4 AOUT I919. 2 [9 



sont, comme cela devait être, exactement les mêmes que celles que nous 

 avons déjà données dans une récente Comm\imcaLtion(Comptesremhis, t. 1()8, 

 i9i9,p.932). 



CORRESPOIVDAIVCE. 



M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la 

 Correspondance : 



El). Delormf. Les ensei^iteineuls chirurgicaux de la grande guerre ( Front 

 occidental). (Présenté par M. A. Laveran.) 



ANALYSE maihÉMATIQUe: — Sur T intégration rîemanienne. 

 Note de M. Aux al d De.xjoy. 



Nous voudrions montrer comment la méthode de Riemann, secondée par 

 la notion de mesure, conduit à des définitions de l'intégrale équivalentes à 

 celle de M. Lebesgue ou même plus générales. 



A. Soient a et |i deux nombres positifs dont la somme est inférieure à i. 

 Soit/ une fonction définie sur un segment ab. 



Relativement au couple (a, [i), appelons maximum d'épaisseur de f 

 sur ab le plus grand nombre M tel que l'ensemble ./r^M ait sur ab une 

 épaisseur moyenne au moins égale à a, et minimum d'épaisseur de f sur ab 

 le plus petit nombre m tel que l'ensemble /"^m ait sur ab une épaisseur 

 moyenne au moins égale à ^(j (l'épaisseur moyenne d'un ensemble E sur ab 

 est le quotient par b — a de la mesure de E entre a et b ). M et m existent et 

 sont finis, si/" est fini en tout point, et l'on a m^M. 



Cela posé, considérons une subdivision quelconque de ab\ soient «, .r,, 

 r^, ...,a:„_,,^. Formons les sommes supérieure et inférieure analogues 

 à celles de Riemann, iM,(j7, — ^,-1), ^niii^x-, — ^/_,), où M, et w^ désignent 

 les jnaximums et minimums d'kpajsselTx deysur l'intervalle x/_, rv, relative- 

 ment à un couple (a, [i ) indépendant de i et de la subdivision considérée. 



Convenons de dire ({ue f est intégrable au sens (A), si les sommes supé- 

 rieure et inférieure ainsi précisées et relatives à une subdivision variable 

 tendent vers une même limite \^ (indépendante du couple a, |Î5) quand le pas 

 (maximum de xi — a7,_, ) de cette subdivision tend vers zéro. Cette limite I, 



