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sera, par définition, Vintégrale au sens (A ) de fdz sur ah. Nous avons 

 démontré le théorème suivant : 



Toute fonction f sommable (au sens de M. Lebesgue) est intègrable au 

 sens (A ). L'intégrale I, au sens ( A) et la somme besgienne I de fdx coïncident 

 dans ce cas. 



Nous croyons à l'exactitude de la réciproque. Mais nous avons seulement 

 pu établir que, si f est intègrable au sens (A) sur ab, son intégrale (A) 

 entre a et oo (a <C.x <^b) existe, est continue en x et admet f pour dérivée sur 

 une pleine épaisseur de ab (ou sauf éventuellement en un ensemble de mesure 

 nulle). 



L'extension ( A ) de l'intégrale de Riemann est aussi générale que celle de 

 M. Lebesgue. Nous ne pensons pas qu'elle le soit davantage. 



B. Soit F la fonction possédant la période b — a et coïncidant avec / 

 dans le champ rt5a: <^ ^. Soit 



avec 



^i"/-i = '^.i= ^h -^i-ï < ^'i ( -'"o = «• ^■*^'« =b), 



une subdivision de ab. 



V osons y i=^Xi-\- /, r\i^= ^^H- ^, et formons la somme 



Nous dirons que / est intègrable au sens ( B ) et que l'intégrale de fdx au 

 sens (B) a pour râleur lo, si^ lorsque le pas w de la subdivision Xi tend vers 

 zéro^ la mesure de V ensemble des t vérifiant les relations \\^ — cp(/)[^a, 



<^t <^b — «, tend vers zéro, quel que soit le nombre positif , a. indépendant 

 de co. On démontre que : 



Toute fonction f sommable est intègrable au sens (B), avec égalité de 



1 intégrale ( B ) et de la somme besgienne de fdx. 



La réciproque n'est pas exacte. La fonction égale ^—t'\ — rpour o<i^x-'^i, 

 et nulle à l'origine n'est pas sommable. Elle est cependant intègrable au 

 sens (B) dans le champ ( — i, -f- i) et l'intégrale ( B) de ' . vaut zéro. 



La somme de la série trigonométrique la plus générale n'est pas intè- 

 grable au sens (B), même si l'on se borne aux subdivisions Xi— H^= - — 



Plus généralement, on peut prendre pour v/, y], des fonctions de / à 



