222 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



satisfont à la relation 



Et") (o), + «2+ . . . -i- fjy,, - J') = (— I )'^ E.'/' (j:). 



Il en résulte que le polynôme E!/' (a?) admet le zéro ^ = - (oj, + co^ + . . . + a>„), 



si V est impair. Soient p,, p.,, ■-., p„ des entiers positifs, impairs quel- 

 conques. On démontre que 



Pi Pn 



, . . ., — 



Pi Pn; 



Cette relation est très utile pour Fétude des propriétés des polynômes. 

 Si en particulier/?, -=/»o = ... = /?„ = yy, elle se réduit à 





0)1, OJ.,, 



2. Jusqu'ici nous avons considéré essentiellement Tordre n comme un 

 entier positif. Mais il y a avantage à introduire des polynômes d'ordre 



négatif en les définissant comme il suit : 



Tout ce qui a été dit des polynômes d'ordre positif reste vrai encore pour 

 les polynômes d'ordre négatif. En particulier la relation 



s = V 



^ 5 



:=0 



subsiste, que n ei p soient des entiers positifs ou négatifs. Posons/» =z ~ n 

 et y = o, il vient 



^y^(^^-'^c-"'v.:f^s(^). 



flette relation de récurrence est très commode quand il s'agit de calculer 

 les polynômes d'Euler. Elle permet de déterminer les polynômes d'ordre /i 

 sans passer par l'intermédiaire des polynômes d'ordre inférieur à n. Elle 

 peut d'ailleurs s'écrire comme il suit : 



5— V 



T ^ = ,t'\ 



-— ^ 2^ si dx^ 



j- = 



