SÉANCE DU 4 AOUT I919. 223 



Le polynôme d'Euler d'un ordre quelconque est donc la solution ration- 

 nelle d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Si « = i, 

 cette équation se réduit à 



,s- = V 



^^ s ! d.r' ^ ' 



.'}. Arrêtons-nous un moment au cas particulier où tous les paramètres w,, 

 tOo, ... sont égaux à i. En ce cas on démontre que les polynômes d'Euler 

 satisfont à la relation 



(i) E,"+' (^)r=^K,- (^)-l,.r— «)E,-(:r). 



Il en résulte que le polynôme d'ordre n s'exprime linéairement par 

 n polynômes d'ordre un. On a en effet 



Ei,«+"(.r) = ;^ 2 ^~T^ E.,,,(a;)D;;.(^- I) {^x - 1) . . . {x - n). 



Posons j? = o dans l'équation (i). Il vient 



(2) Q/'+"rr:2G;;' +-C./i,. 



n 



On a en outre C]^'" = i quel que soit n. A l'aide de cette relation on déter- 

 mine les C /" et l'on voit qu'ils sont des polynômes en n du degré v. Mais on 

 peut ici faire une nouvelle extension, qui n'avait pas de sens dans le cas 

 général. On a considéré jusqu'ici l'ordre n comme un entier d'abord positif 

 et puis positif ou négatif. Mais en déterminant les C!/' par la relation (2) ©n 

 n'a plus besoin de s'imposer cette restriction. On peut considérer n comme 

 une variable continue, réelle ou complexe. On peut enfin faire la même 

 remarque relativement aux Y}"\ On arrive ainsi à deux classes nouvelles 

 de polynômes qui à leur tour jouent un rôle important dans plusieurs pro- 

 blèmes. 



xVNALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités irrégulières des équations 

 dijfférentielles linéaires. Note de M. René Garxier. 



Dans pries Notes antérieures ('),j'ai montré qu'on peut engendrer les sin- 

 gularités irrégulières d'une équation différentielle linéaire par la fusion de 



(') Comptes rendus, t. 1G8, 1919, p. 1/42 et '\')i. 



