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points singuliers réguliers infiniment voisins; et que, partant de là, on peut 

 calculer, au moyen de l'équation irrégulière, les limites des invariants du 

 groupe de monodromie de Téquation régulière. Je voudrais compléter les 

 résultats précédents et en donner de nouvelles applications. 



1. Soit 



(Ë) jC")^. A,j(/«-i} + .,.^A^j('«--') + .. . + A,„j = o 



l'équation irrégulière, les quotients Aj-.cijXJ'-"-"'^' étant holomorplies 

 pour |.r|>r„ et tendant vers i pour x ='jz. Afin d'établir nos résultats 

 antérieurs, nous avons dû supposer essentiellement que l'équation 



( I ) s'" -4- «1 .S'"- ' -+-... + OjS"'-J -h . . . + a,n = o 



possède m racines distinctes; abordons le cas où cette hypothèse n'est plus 

 réalisée. La méthode des approximations successives montre alors que (E) 

 possède des intégrales d' ordre fractionnaire (pour x ■==. a: ); nous allons voir 

 (\\ie ces intégrales sont encore des limites d'intégrales régulières d'une équa- 

 tion (E) dépendant d'un paramètre variable £, et tendant vers (E) 

 pour £ injiniment petit. Pour cela, il nous sera loisible de nous limiter aux 

 équations d'ordre différentiel minimum, possédant des intégrales de l'ordre 



fractionnaire donné, n par exemple (/ étant inférieur premier à m); 



dans ce cas, h,„ admettra .r == ^d comme prMe d'ordre m(^n — i) ~ /, tandis 

 que, pour les autres Ay, x = se sera pôle d'ordre r^jin - i) — — • Procé- 

 dant alors comme antérieurement, nous adjoindrons à (l".) l'équation 



(E') (i — £"a;")'"j»--"'^-l-. . .4- (i — £•'' .t"" )'"-•' Ayj^"'--'') + . . . 



qui possède /z + 1 points réguliers a^^=c-'e " , a-^ = cc; s, sera une 

 fonction de £, infiniment petite avec i, ainsi que ££7'". 



Appliquons alors à (E') l'algorithme d'approximations successives qui 

 nous a déjà servi; la seule circonstance nouvelle qui se présentera concer- 

 nera le chemin d'intégration. Acluellement, ce sera une branche de la 

 courbe 



Or, pour C fini, t^ possède, entre autres, mn branches, dont chacune 



