SÉANCE DU 4 AOUT I919. 225 



s'enroule autour de x^ et de l'un des points X/^; ces branches se divisent en 

 deux catégories. Pour les premières, au nombre de mii — /, les points 

 asymptotes x-/, et x^ sont reliés par un arc qui, pour s infiniment petit, tend 

 vers un arc d'une branche de rhyperbole 



n 



/• "'cos\{n — lni~ ' ) 5 4- ô, ] m C I . 



Pour les / branches de la seconde catégorie, le minimum de r est au moins 



in 



de V ordre de i^ ' . D'où la conséquence suivante : 



î étant donné, les mn branches précédentes balaieront d'abord (par 

 variation de et G) mn secteurs de la couronne S [''„< l^^l <C 'i \i où r, a 

 été pris suffisamment grand; et dans chacun de ces secteurs, on connaîtra 

 une intégrale de (E), canonique pour x^ ou x^. Mais s tendant vers o, 

 rS finira par n ê Ire plus balayée que par mn — / arc^, les intégrales correspon- 

 dantes s'y comportant comme e^ (avec \''"= £,07'"""*' — j;""'"''~'). A la 

 limite, les / intégrales correspondant aux branches de la seconde catégorie 

 se seront donc évanouies^ et l'on aura obtenu une division de s en mn — l sec- 

 leurs occupés par des intégrales d'ordre n 



2. On démontre d'ailleurs aisément que dans chacun de ces secteurs, on 

 connaît m -h i intégrales de (E) liées par une relation à coefficients 

 constants ; ces relations sont au nombre de mn — /; un procédé que nous 

 avons exposé antérieurement permet d'en déduire { m — i ){mn — m — l— \) 

 quantités, qu'on appellera encore les paramétres du point irrégulier et qui 

 constitueront les limites d'un nombre égal d'invariants du groupe de ( E' ). 

 Mais, celte fois-ci, {m. — 1 ) / invariants de ( VJ ) se seront évanouis, sans laisser 

 de traces dans r équation (E;. 



3. Sans insister davantage sur le cas où (i) possède des racines égales, 

 indiquons une application des résultats précédents et de ceux de nos autres 

 Notes. Ils conduisent naturellement à la généralisation suivante duprohléme 

 de Riemann : 



m 



Soit (i" ) une équation linéaire, ^ Ay r '"^■'^ = o, les Ay étant des fonctions 



rationnelles de formes données ; (vL) possédera donc des singularités (régu- 

 lières ou iKiiÉGULU^REs) de formes données; on demande de choisir les 

 coefficients des A, de telle sorte que les invariants du groupe de monodromie 

 de (c) et les paramétres de ses points irréguliers aient des valeurs données. 

 D'après ce qui précède, le problème de iliemann généralisé n'est qu'un 



