SÉANCE DU 4 AOUT 1919. 227 



en tout point 6,, de l'intervalle (o, 2~ ), où cette expression existe, si la 

 fonction périodi(/ue f(0) est bornée dans (o, îti). 



Dans cette Note nous allons démontrer que ce résultat de M. Angelesco 

 subsiste aussi (jiiand f(^H) devient infinie dans (o, ir.)^'pourvu que le produit 



1/(00 — «)^-/( &..+ ") |(sin«)^>- 



soit intégrable dans (o, 7:). On le prouve en considérant le développement 

 ultrasphérique suivant de /(O) dans l'intervalle (o, itS) : 



(I) /(5) ^V'i-t^- r f(^t)P:i'(cos6-i)[sin^e-()ydt. 



r(>. + -) :r, '■ ^^' 



où F\'; (x) désigne le polynôme ultrasphérique. 



Pour A->o, (i) se réduit au développement trigonométrique de /"( 0). 

 Kn posant 



nous mettons (i ) sous la forme suivante : 



r()or(l) 



, .'i + A r 

 2) ^~~^ ^ — r~ / ''-i^i u)P)l'{cosu) {s'in u)-' du. 



r(_>, + !)„=. -•^. ' 



L'ordre d'infînitude de o{u), au point w = -, est le môme que celui 

 de/(6) au point — 0(,=b7r; désignons-le par y et appliquons au dévelop- 

 pement (2) les résultats de nos Notes (*) sur la sommation (C, o^À)de 

 la série ultrasphérique 



vtft ^ y/^ + X /- f Fi6','^')P'}Hcos,,)r/a' 



F(^^ ?) -2 -^J \ T-' 



n = o * [sin- 6*' sin2(cp — -9')]" 



dont la série (2) n'est qu'un cas particulier, dans lequel le point (6, z>) se 

 trouve au pôle de la sphère S, et dans lequel F( 6, z> ) ne dépend pas de (p. 

 Nous avons le théorème : 



La série ( i ) est sommable (^C, — - 2 A) avec la somme 



C) Comptes rendus^ t. IG'i, 1917, p. 5io, et t. 108, 1919, p. 1193. 



