SÉANCE DU l8 AOUT 1919. 3ll 



Soit alors une représentation propre^ (2), apparlenanl à I, de m par/; 

 on voit aisément que, u et c ayant le plus grand commun diviseur 1, on peut 

 trouver dans J„ (idéal conjugué de 1) deux entiers a' et v tels que 

 //r'— 17/' = norme de I, ou 



(3) iiv' — r;/'= I t,. 



I^'aisons alors, dans la forme (I),/(a•,J^' ), la substitution 



( 1 ) œ— i(\->r it'\ ; y — (• X H- f' Y, 



a'„ et.v„ subissant la conjuguée; on trouve, en tenant compte de ('i ), 



(5) /(.r,j)=^l'{X,Y) = mIIo\X„+I:5XV.,-^B„\„Y4-CYY„, 



B et 13„ étant conjugués, et étant posé 



(G) li =z auii'^ -+- bu'^ V -f- Ao^r'a + tToc'; C r= au' u'^ -F- /^^/^ r' -|- b\u\-'^ -^ c^'' ^'\, 



(//„, . . . conjugués de u, . . .). F( X, Y ) est une forme d'Hermite du corps 9, 

 positive comme/, et de discriminant Al-I,% puisque la substitution (5 ) a le 

 déterminant IT„. De plus, par ( 6 ), et puisque u, r, «|,, r,, sont de I et ;/„, r„, 

 u'^v' de J„, on voit que B, B„, C sont respectivement des entiers des idéaux 

 1% 1;,, II,,. En particulier, C = /?n„, n étant entier ordinaire positif, et l'on 

 a ainsi 



/(.r, y) z= P( X, Y ) z= m l l,XX„ - W XY„ 4- B, X„ \ -^ n\ I, ^ Y,,. 



L'expression du discriminant donne nm\-\l- BU,, — il-îi;, ce que nous 



BB„ . p , 



écrirons j^, = — _l -4- mn, ou sous lorme de congruencc 



BBo , , 



(7) |Y7i=~^ (modm), 



étant entendu que B est un entier de l'idéal l- ( donc B„ de l] t. 



Ainsi, à toute représentation />ro/;/T, appartenant à I, de ?n par /, répond 

 une solution I), de la congruence ( 7), B étant un entier de 1*. 



-1. Itèciproquement, soit ]] un entier de I-, solution de ( 7 ); on aura 



\^) Ï7T7 =~-^ -^ '""■ 



n étant un entier ordinaire, évidemment positif; la forme d'Hermile : 

 (9) F(X,Y)=:mIIoXX,+ BXYo+BoX,Y+/iII„YYo, 



