'il -2 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



est positive et de discriminant Al-I^, [par ( 8)]; soient u et v deux entiers 

 quelconques de 1, ayant I pour plus grand commun diviseur, el u', v deux 

 entiers de l,,, choisis tels que uv — vu = II„ ; faisons alors dans F( \, \ ) la 

 substitution ( 4), c'est-à-dire 



(lo) iIoX = t'.r — »'r; I lo^ =z — i\r + « )■; 



on reconnaît que, dans la forme en ^, r, au second membre, les coefficients 

 de ^.r„, .'Tj'f,, ^,, )-, vv„ sont entiers de Z, les deux extrêmes étant entiers 

 ordinaires : le premier est, par exemple, 



il est entier (et évidemment réel) parce que r et v\^ sont de I; i'„ et v' de I„, 

 et B, B(, de P, I^; respectivement. Dès lors, la forme en x, y est une forme 

 d'Hermite du corps C, positive comme F, et de discriminant A, soit /*(.r, }'), 



D'autre part, par (9), F(i,o) est mil,,; pour X = i, Y = o, on a, 

 dans (4), r ^= ?/, 1' = t^; donc f(u, v) = mW^,, et, d'après les hypothèses 

 sur a et c, cela exprime que m admet, par /", une représentation propre, 

 appartenant à\. 



De ce que m et II„(ou q) sont premiers à 2A, et des expressions, telles 

 que (6), des coefficients de F en fonction de ceux de/", on conclut aisément 

 que ces derniers ne peuvent avoir un diviseur premier réel commun et que 

 /(.r, r) est II ne forme eVHermitv positive , proprejnent primitive^ de discrimi- 

 nant A. 



Enfin, si B et B' sont deux solutions {à'xies non distinctes) de (^^j), telles 

 que B'=: B -f- Ow, étant un entier de l'idéal P, les deux formes y"(^, y) 

 et/"'(.^', }'), obtenues en partant de B et de B' sont équivalentes. Car on 

 voit de suite que les formes F(X, Y) et F(X', Y') se correspondent 

 par X'=- X H- T-p ^ ; Y'= Y; alors, par (4) et par les relations analogues 



entre x\ y\ X', \' , les «, r, a', ç^' restant les mêmes, on trouve, entre 

 les .T, y et les .r', y' une substitution à coefficients entiers dans a et de 

 déterminant -h i. 



Conséquence analogue si, partant de la même solution B de (7), on 

 donne aux u, c, w', r' eV autres valeurs^ satisfaisant aux hypothèses : on 

 trouvera une forme équivalente à celle, /(.r,;»'), obtenue d'abord. 



5. Conclusion. — Soient y, (\r, y),y2, ...,/"„, des formes d'Hermite du 

 corps s, choisies, une par classe, dans les H classes positives, proprement 



