SÉANCE DU 18 AOUT 1919. 3l3 



primitives, de discriminant A. Pour obtenir les représentations propres, 

 appartenant à un idéal 1, de m entier positif, premier à 2A, par l'ensemble 

 desfi, on partira de la congruence ( 7) : 



(7) ^=-A(mod,»)- 



B étant assujetti à être un nombre del"; on ne considère pas comme 



distinctes deux solutions, B et B', telles que soit un entier de I'. 



^ m 



A toute représentation, appartenant à I, de /n par une /,, répond une 

 solution, B, de la congruence; réciproquement, à une solution B répond 

 une forme, y, proprement primitive, positive, de discriminant A, donc équi- 

 valente à une f,. donnant de m une représentation propre appartenant à 1. 

 A cette représentation en correspond évidemment une de même nature par 

 la fi, et non seulement une, mais autant qu'il y a de substitutions unitaires 

 faisant passer de f à J). 



Si donc A", est le nombre des transformations linéaires, à coefficients 

 entiers du corps z et de déterminant i, de /, en elle-même, on en conclut, 

 en répétant des raisonnements classiques et en s'appuyant sur les n°^ 3 et 4, 

 que le nombre des représentations propres^ appartenant à I, de m par les fj^ 

 une représentation par fj comptant pour j^, est égal au nombre des solutions 

 distinctes de la congruence (7). 



6. Nombre des solutions de la congruence. — Celle-ci se met sous une 

 forme simple. Posons pour un instant P = J ; on a I = [q, g -h i \ P) ; on 

 aura aussi (') J = (Q, G + i\'P) et Q = q-, car Q et q sont les normes 

 de T- et de I. 



Or, B étant de J, on a B = Qx -+- (G -f- /\ P jj, ^ret r entiers ordinaires 

 quelconques, et (7) s'écrit, puisque PI„ = JJg = norme de J == (), 



(lO (0:r + Gy)-+ Py'- = — AQ(modmQ). 



Mais le premier membre, par sa forme même, est multiple de i), car 



(') iii l = {q, ,^' + i ^P )^ pour que l- soit de la même toime. il faut el il siiflit, 



comme on le voit aisément, qu'aucun des facteurs premiers communs h q tl g ne 



divise P ou ig. Or, q est impair, premier à P (n° 3) ; d'autre pari, si q et 2^ avaient 



un facteur premier commun, p (nécessairement impair), ce /> diviserait P, parce que 



c- ■ p 



est entier; doù contradiction, q étant premier à P. 



