3l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



G- -h P eee: o ( mod(^)) ; d'autre part, Q = cf- et cj est premier à m (n" 3 ), en 

 sorte que (12) équivaut à 



(i3) (7--^^- + Gj')'-r- 1V=^ — -^7'('iiotl;//). 



A deux solutions, B et B', non distinctes de (7), répondent deux solutions 

 x^y ei x' , y' de (i3) véririant(on le voit aisément) ^j'eee j;,y 5^j(modm) ; 

 on a donc à chercher le nombre de solutions j?, / de (i3), distinctes dans le 

 sens ordinaire. C'est aussi celui, N, des solutions X, ^ , distinctes, de 

 X- + PY-E^ — Irf- (xwoàni ), m étant premier à il et y à iXmV. 



Or, Hermitc a fait connaître ce dernier nombre (' ) dans le cas où m est 

 aussi premier à P ; il trouve pour iN l'expression 



(<i 



pX-\ p'7.'-l 



i 



en supposant pour m, décomposé en iàcieuï^ premiers , m ^= jy' p ^ 



Mais nous aurons besoin d'avoir N lorsque w, premier à 2 A, ne l'est pas 

 à P ; nous supposerons alors, dans tout ce qui suit, que A et P n'ont aucun 

 facteur impair commun. 



Soient c les facteurs premiers impairs de P tels que 



— A 



= -h I ; C7 ceux 



tels que i—^ ) = — 1. Il est clair que si m renferme un facteur cr, la con- 



gruence X- -h P Y-^g — Ay- (mod //? ) n'a pas de solution. Considérons 

 maintenant la conaruence 



(i5) 



\^ + P Y^ HH ^ l>p ( mod pP ) ; 



si n^ est le nombre des solutions \^\ de (ij), on trouve facilement, en 

 suivant la marche d'Hermite (loc. cit.), et en se rappelant que P est sans 

 facteur carré, 7ip = p/îp..,, et, directement, 7i, = 2p. Donc /irp=^ ip'^; on 

 déduit alors des principes d'Hermite que si 



(i6)- 



— ,,a ,,'a 



m ^^p J 



p^p'I^' 



lesp, p\ ... étant premiers à P, on aura le nombre N cherché en multipliant 

 l'expression (14) par 20^.20''"''.,.; donc 



(•:) 



N = A 



— „x-i 



— F 



■2&?.2 0'/ ... 



El N = o, si m renferme un ou plusieurs facteurs 7. 



(') Hermite, Œav/es, l. 1, p. 2^-. — Noir aussi Crelle, \. M. 



