322 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



CORRESPONDANCE. 



MM. Bo^juET, Georges Giraud, L.-C Maim.ard, Raclot adressent des 

 remercîments pour les distinctions que l'Académie a accordées à leurs 

 travaux. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries uUrasphériques. 

 Note (') de M. Erwaxo Kogbkpliaxtz, transmise par M. Appell. 



Envisageons la série ultrasphériquc de Fi 0, o) 



(,) F(^.,)~j;^f/' '^'^'?'>P'^'-''-'>f': (;.>o). 



Le but de celle Note est d'étudier la sommabilité (C, o) de la série (i) 

 pour A — I <^ 0^ A (^). Les résultats sont basés sur les propriétés suivantes 

 de la série 



• (I) 



I. Elle est sommable ( C, o ^ A — i) et a zéro pour somme, si co ^ o, la 

 sommabilité étant uniforme pour ti^ w^£ (s > o); 



II. Ses moyennes arithmétiques S',^(co) d'ordre o^X ~ i sont bornées: 



I S,f ' ( w ) I = / S;f • '■' ( n ) ( sin // )^>- du < H 

 l '^ I,) 



(o>/, — i; - w^o; n = o, i, -2, . . . ce). 



En s'appuyant sur la formule approximative pour la moyenne s^^' (u) de 

 la série ^{n -{- A).P'^''(cosf<) et sur I, on démontre le théorème : 



Soit I F(0', 'y) I [sin-0'sin-(^ — o') ] ' intégrable sur S. La série (i) est 



(') Séance du 28 juillet 1919. 



(-) La sommabilité (G, ô>>.) est étudiée dans les Aoles précédenles : Comptes 

 rendus, t. 163, 1916. p. 601 ; t. 16i, 1917. p. 626; t. 168, 19191. 



