SÉANCE DU l8 AOUT 1919. 323 



sommable (G,o ^^ A) el a pour somme la valeur moyenne de F(0, (p) au 

 point (6, o), A7' F(0, o) est à variation bornée dans le voisinage de ce point et 

 si elle ne devient infinie^ au point diamétralement opposé M„(7: — 0, - -4- o ) 

 que d'ordre y,, moindre que A H- i. Pour yo^^ + i ^«"^ ^eVie ([) n'est pas som- 

 mable (C, = A). 



Mais on a davantage : on démontre que, pour y,, <; A -h 1 , les conditions 

 suffisantes de ia somniabilité (G, y) de la série (i) sont les suivantes : 

 La dérivée de rintéf(rale 



n 



o{ii) I (lu 



s'annule pour t = 0^ et l'intégrale 



I \'l( // -t- ■/)) — '}('/)! ''^" 

 tend vers zéro avec y], où 



et 



o{l) = 'Ul)s\n- =1(1) — ;( A- o) 



■:>.r.{s'miy'''^{n — fv{0', o') [sin'-^^ sin2(9 — 9') |'' î (ts\ 



l'intégrale de ligne étant étendue au cercle C, de centre (0, o) et de rayon 

 sphérique t. On en déduit que tous les critères connus de la convergence 

 des séries trigonométriques (0 = A = o) sont aussi les critères de somma- 

 hilité (C, À) de la série (i) pour y» -< A + i . 



Telle est, par exemple, la condition de Lipschilz-Dini : 



[F(y, 9') — F(9, 9)|log/->o 



avec la distance sphérique / des points (0', o') et (0, c^). On voit que, pour 

 7o <1 A -h I , /rt sommabilité (C, \) de la série (ï) ne dépend que de la conduite 

 (^/e F(0, o) autour du point (0, qj). 



Soit maintenant <C À, yo <C A -+- 1 et supposons que F(0', ç') est à. varia- 

 tion bornée sur S, sauf les voisinages des points M/^Çk^o), où F(0', o') est 



de la forme A/J sin — j -+-//,(0', o), co/, étant la distance sphérique des 



points (0', 9') et M^ et /À(0', cp') étant à variation bornée. Par M„ nous 

 désignons le point (t. — 0, - -h 0). Pour << A Tindex de la sommabilité 

 (G, > A — i) de la série (i) dépend de tous les exposants y^. 



Désignons par y,, les exposants y^;. de ceux des points M/f(^^i), qui se 



