36o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les représentations d' un entier par les formes 

 positives d' Hermite dans un corps quadratique imaginaire ( ' ). Note ( " ) de 



M. G. HuMBERT. 



1. Extension d'une formule de Diriclilet. — Soient ç,, 9_,, ..., zj/^ des 

 formes quadratiques binaires positives, à coefficients entiers ordinaires, 

 choisies, une par classe, dans les h classes proprement primitives de discri- 

 minant P, et de telle sorte que leurs premiers coefficients soient premiers 



à 2?. . 



Dans son Analyse classique, Dirichlet part de la formule (où t = 2, 

 si P ^ i; T ^=: 4) si P = i; et où ^ est une constante ]> i) 



au premier membre la somme s'étend à y = i, 2, ..., h et aux systèmes 

 d'entiers .r, y, premiers entre eux, tels que Oy(a:, y) soit premier à 2P; au 

 second, m! parcourt lés entiers ^oû\\h^ premiers à 2P, dont — P est résidu 

 quadratique; si rri=^p^p"^ . .., a désigne le nombre des facteurs premiers 

 />, p' ^ ... distincts. 



On reconnaît que (i) subsiste lorsque, P n'ayant aucun facteur carré ^ 

 autre que t, m' (impair) admet, à la puissance un au plus ^ un ou plusieurs 

 des facteurs premiers impairs gï/ de P ; alors, si m' z=p'^p"^ . . . x^-xrij. . . , le 

 nombre a est toujours celui des/), p' , . . ., les ôj, n'étant pas comptés. Natu- 

 rellement, les /?, //, . .. sont des facteurs premiers impairs dont — P est 

 résidu. 



En poursuivant alors l'Analyse de Dirichlet, on met le second membre 

 de (i) sous la forme 



n 



T 



/•■'■■ 





le produit s'étendant à tous les entiers premiers impairs /•, y compris les m/, 

 et ( — — j étant pris nul si /• divise P. Delà, toujours en suivant Dirichlet, 



(') Comptes rendus, t. 109, 1919, p. 2o5. 

 (-) Séance du 18 août 1919. 



