SÉANCB DU 25 AOUT I919. 365 



2" Celte condition étant supposée remplie, le plus ►grand commun 



diviseur des idéaux r-> y-? à savoir p, est un idéal quelconque de la classe 

 I,. 1,. \j 



conjuguée à celle de I^: c'est donc un idéal quelconque^ puisque, c étant 



donné, j peut prendre les valeurs 1,2,...,/^. 



Donnant ensuite à c les valeurs successixes 1 , 2, ...,/?, on voit ainsi que 



le premier membre de ( 10 ) prend la forme très simple 



où /== I, 2, . . ., H, et 6- — I, 2, ...,/?: dans l'expression /)( j-j y- U X et \ 

 sont des entiers quelconques de TidtWl I,., soumis seulement à la condition 

 que cette expression ait une valeur première à il. 



Avant d'égaler (12) au second membre de (10), il faut y supprimer le 



facteur -■ Car, soit par exemple P > i , d'où - = 2; on posant 

 „ ' .V II \ a \ . \ Y\ 



('3) ^^<rT'rT>-~-''^>r'r.H'"- 



on trouve f/i pour les valeurs za:, £ v, r^u de x, y, u (i, r^ = ± i), soit quatre 

 fois; on le trouve de même pour les valeurs iX, £ Y, de X, ^ , soit ^/ew^ fois : 

 il faut donc, quand on passe des œ, y, u aux X, Y, doubler la quantité (12), 

 donc supprimer -• Démonstration analogue pour P = i , t = 4? ^ii prenant 

 £,v] =: =t I et ± /, ce qui conduit à quadrupler (12). 

 De là la formule fondamentale : 





W 



la signification des X, Y; n, rrr ayant été indiquée plus haut, et /i étant le 

 nombre des classes d'idéaux du corps «\P. Pour P = i, on retrouve une 

 formule de M. Fatou {Comptes rendus, t. 142, 1906, p. 5o5). 



4. Application. — Supposons, pour simplifier, m entier positif, premier 

 à -21 et à P: on déduit aisément de ( i4 ) cette proposition : 



Le nombre total des représentations de m, propres ou non, appartenant 

 aux idéaux I,, L, . . ., I/,, par V ensemble des formes /,,..., /j,, une repré- 

 sentation par f/ comptant pour i : k(, est h fois la somme des diviseurs {entiers^ 

 positifs) de m. 



