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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une écjiicition aux différences finies. 

 Note (') de M. IV. -E. IVorlu-vd, transmise par M. Appell. 



Je me propose d'étudier Téquation 



(i) G(.r -h- w) + G(j;-)= 2'i(>), 



^(.r) étant une fonction donnée, co étant un nombre positif. Soit G(^) 

 une solution quelconque de cette équation, la solution la plus générale est 

 de la forme 



G(.5?) -h t:(./-), 



t\x) étant une fonction périodique quelconque telle que 



- ( J7 + oj ) — — - ( .f ) . 



Mais en regardant ces solutions en nombre infini, on peut se rendre compte 

 quïl y en a, parmi elles, une seule qui se distingue nettement des autres 

 et qui est, pour ainsi dire, la plus simple. Je l'appelle la solution principale. 

 C'est la solution principale qui est réellement intéressante et il n'y a pas 

 lieu de s'occuper des autres. Cette solution dépend de la variable x et, en 

 outre, du paramètre co. Je la désigne par ^}{x\ co ). 



Si la fonction 9(1') est un polynôme du degré m, on voit immédiatement 

 qu'il y a un et un seul polynôme qui satisfait à l'équation (i). Ce polynôme 

 est la solution principale. Il s'exprime de la manière suivante par les poly- 

 nômes d'Euler Ev(/? | co) 



V = m 



G(^4-Alr,))= 2^ ':.■' (.V) -l~^, 



h étant un nombre quelconque. 



Voici un autre cas particulier où l'on peut trouver immédiatement la 

 solution principale. Considérons la série 



(2) 2 7 (— i)-^'©( jr -l-.çr,j). 



Si celte série converge, elle représente la solution principale. Mais malbeu- 

 reusement, dans les cas les plus intéressants, la série diverge. Pourtant 



(') Séance du 18 août 1919. 



