SÉANCE DU 2:") AOUT 1919. 3^3 



toute }3onne méthode qu'on peut imaginer, pour résoudre l'équation (i), 

 doit prendre pour point de départ la série (2), même si elle divergCo La 

 théorie des séries divergentes, due à M. Borel, s'applique avec un plein 

 succès dans ce domaine de la théorie des fonctions, et c'est là peut-être une 

 de ses plus belles applications. J'introduis dans la série (2) un facteur de 

 convergence, soit ^(^, y] ), que je fais ensuite tendre vers un en faisant 

 tendre le nombre positif /j vers zéro. Je définis ainsi la solution principale 

 par une limite de la forme 



(3) G(.r j ',)) r— 2lini 7 ( !)•■ 9(j' -1- 5W) ^(.a? + .VO), Tj). 



.s- = 



Le choix qu'il convient de faire de la fonction 3" est une question à la fois 

 intéressante et délicate. On peut choisir cette fonction d'une infinité de 

 manières, mais en lui imposant certaines restrictions, on démontre que la 

 limite (3), si elle existe, ne dépend pas de a*, de sorte que la définition est 

 unique. Mais ce point demande de longues explications et je n'} entre pas 

 ici. Je me borne à considérer un cas particulier qui est d'ailleurs assez 

 important. Je suppose que la fonction o^z) admette une dérivée continue 

 d'un certain ordre, soit d'ordre m, telle que la série 



\ = 



converge uniformément dans l'intervalle -rli^'^x H- w. Dans ces conditions 

 on démontre que la limite (3) existe, par exemple si l'on suppose que 

 G^(,/',r,) = fr''''-'' et aussi pour une infinité d'autres fonctions 1. Mais, dans ce 

 cas particulier^ on peut déduire de l'expression (3) diverses autres expres- 

 sions analytiques qui sont fort remarquables et dans lesquelles la fonction a* 

 ne figure plus, de sorte qu'on peut vérifier directement et très aisément que 

 la fonction G(.r [ oj ) ne dépend pas de rf. 



Remarquons d'abord qu'il résulte de l'expression (3) que la solution 

 principale satisfait à la relation 



x-^r('A-r + 



n 



:=.(i \ x\- 



n étant un entier impair quelconque. 



A l'aide de la formule sommatoire d'Euler, on peut transformer Texpres- 



