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sion ( 3) et, après un double passage à la limite, on trouve 



m - 1 

 l' — 



où Ton a posé 



On suppose ici que o^/î<(o. La fonction È,Jz), qui entre dans le terme 

 reste, est une fonction périodique de :: qui satisfait à la relation 



•^h(- + ''')== — E/«(-) 



et qui, dans l'intervalle o^^Sto, est égale au polynôme d'Euler E,„U). 



Si l'on fait tendre m vers l'intini la série (4) sera en général divergente, 

 mais on peut opérer avec cette série en toute siireté, en tenant compte du 

 terme reste qui se représente par une intégrale convergente. Si m est pair 

 et si l'on pose // ^ A le terme reste peut s'écrire sous la forme 



.>=0 



étant compris entre o et i, les E„, étant les nombres d'Euler. Si m est 

 impair, et si l'on pose h = o, le terme reste peut s'écrire sous la forme 



(o<0< î ) : 



(7) f^"-;^7^2^-'r-^"'U- + -..-B.>, 



les C,,, étant les nombres dont il a été question dans ma \ote ( ' ) précédente. 

 On peut donner au terme reste une forme plus simple et plus précise, si 

 l'on suppose que, quand z croît de ,r à l'infini, Ç;""^( r ) tend vers zéro en 

 variant toujours dans le même sens, et qu'il en est de même de ç "'"'\'r). 

 Dans ces conditions, on trouve au lieu de l'expression ( 6 ) 



l^ 



/// : \ 2 



fj) 



l'»-=:f; (-) o(""(,r-h.(-)o>), 



et au lieu de l'expression (7) 



i^^«-%(tV"-^"" (-+«-). 



//* 



(') Comptes rendus, t. 169, 1919, p. i()6. 



