SÉANCE DU 25 AOUT I919. ?»';■ 



Dans les deux cas, B est un nombre compris entre o et -■ Dans ces deux 



cas, la série (4 ) possède donc la même propriété que la série de Stirling. 

 Quand on s'arrête à un certain terme, Terreur commise est plus petite que 

 la valeur absolue du premier terme négligé. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la nolioîi de moyenne dans le 

 domaine fonctionnel, ^sote de M. Paul Lévv, présentée par 

 M. Hadamard. 



L La notion de moyenne dans le domaine fonctionnel est due à R. Gâ- 

 teaux ( '), Une fonction x{t.)^ définie et continue entre o et i, peut être 

 approchée par une fonction simple d^ ordre n^ prenant des valeurs cons- 

 tantes a:,, ..., .r,^ dans chacun des intervalles (o, 4 j^ •••> ( — - — > ij- Si, 



dans un certain domaine de l'espace fonctionnel, on ne considère que les 

 fonctions simples d'ordre n, une fonctionnelle <I> de .^(7) devient yne fonc- 

 tion 9(^',, ..., ■/■„); on sait ce qu'on doit appeler sa valeur moyenne. La 

 limite de cette valeur pour 71 infini sera par définition la moyenne de la 

 fonctionnelle dans le domaine considéré. 



Dans l'espace à n dimensions, la mesure de la portion du domaine con- 

 sidéré pour lequel o est compris entre A et A -\- dk peut se mettre sous 

 la forme ca^~* d'A, cdk étant la distance moyenne des surfaces o — A 

 et o — A -h d\. La moyenne de o est alors définie par la formule 



[j.,, I ca"-'d'/.= I 



Idl. 



Il arrivera en général que pour n infini a ait une valeur principale de la 

 forme/( A )g'(n). Si /(A) n'est différentde zéro que dans un intervalle fini, 

 et atteint sa limite supérieure dans cet intervalle pour une valeur unique [j. 

 de X, la limite de [j.,^ pour /? infini est o-.. Ce nombre doit être considéré 

 comme la valeur moyenne de la fonctionnelle *l>, non qu'il soit une véri- 



(') Voir /Ju/l. '^oc. math., 1918. 



