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table moyenne au sens ordinaire de ce mot (moyenne entre des valeurs 

 différentes de <!>), mais parce que, quelque petit que soit z, le domaine où <I» 

 n'est pas compris entre a — £ et ;j. 4- £ a une mesure infiniment petite, 

 pour/? infini, par rapport au reste du domaine. En termeg moins précis, 

 «^ a presque partout la valeur a. 



Cette circonstance a été observée par Gâteaux dans des cas particuliers. 

 Mais elle est très générale et domine un grand nombre de questions de 

 calcul fonctionnel. Ainsi, elle se produit toutes les fois quon cherche la 

 moyenne d^une fonctionnelle uniformément continue à lu surface ou à 

 l'intérieur d'une sphère, les notions de fonctionnelle continue et de sphère 

 ayant la signification qui résulte de ce qu'on définit la distance r des points 

 de l'espace fonctionnel représentant les fonctions .r(/)et j(/) par la for- 

 mule 



f [r{t)~x(t)Ydi. 



On peut évidemment former des exemples de cas où la circonstance 

 signalée ne se produit pas, soit dans le cas de la sphère pour une fonction- 

 nelle non continue comme ^'(t), t étant une valeur particulière de /), soit 

 pour des volumes autres que la sphère (par exemple un cylindre). 



2. Les remarques précédentes ont une application dans l'étude de la 

 courbure des surfaces. Les définitions des mots angles et courbure d'une 

 ligne résultant sans ambiguïté de celle de la distance, nous appellerons 

 courbure moyenne en un point d'une surface la moyenne des courbures des 

 différentes sections normales, la définition précise de cette moyenne se 

 ramenant à une moyenne sur une sphère. Le théorème précédent s'applique 

 alors, pourvu qu'au point considéré la courbure normale varie d'une ma- 

 nière continue avec la direction de la tangente, et l'on peut dire, employant 

 un langage peu précis, mais dont le sens résulte clairement de ce qui pré- 

 cède : la courbure normale a la même valeur dans presque toutes les directions ; 

 celle valeur est la courbure moyenne. 



Par suite, sur une surface mininuiy en un point A déterminé, la cour- 

 bure moyenne est nulle dans presque toutes les directions. En d'autres 

 termes, si l'on coupe cette surface par une sphère infiniment petite i de 

 centre A, la distance des points de la section au plan P tangent à S en A 

 est dans presque toutes les directions infiniment petite d'ordre supé- 

 rieur à 2. 



