SÉANCE DU 25 AOUT I919. 877 



On peut aller plus loin et montrer que, pour une sphère I de rayon 

 finie, la distance au plan P est nulle pour presque tous les points de la 

 section considérée. Il en est même ainsi pour leur distance à tout autre 

 plan P' passant A. On s'explique cette circonstance en observant que 

 presque tous les points de I sont sur P, et que, pour des raisons analogues, 

 la section de S par P, et par suite par S qui diffère très peu de P, a presque 

 tous ses points sur P. Gela ne serait plus vrai bien entendu si S n'était pas 

 minima. 



On peut résumer ces énoncés, en langage peu précis, en disant qu'une 

 surface minima est presque un plan, non seulement au point de vue infini- 

 tésimal, mais même au point de vue fini. 



3. Les considérations précédentes montrent la raison de certaines 

 circonstances que j'ai indiquées dans une précédente Note ( i4 avril 19 19). 

 J'ai énoncé que, si une fonctionnelle U est harmonique, les surfaces 

 U = const. sont des surfaces minima. On peut donc résoudre le problème 

 Dirichlet pour une surface S en déterminant les surfaces minima U = const. 

 dont la trace sur S est connue. 



D'autre part, on peut résoudre le problème de Dirichlet par une formule 

 de la moyenne qu'on peut énoncer comme suit : la valeur de U en un 

 point A est égale à la moyenne de U sur S, les éléments de la surface S 

 ayant des poids proportionnels aux angles solides sous lesquels ils sont 

 vus de A. 



A première vue, ces deux énoncés paraissent contradictoires; le premier 

 fait dépendre la valeur de U en A des valeurs de \ à l'intersection de S et 

 d'une certaine surface minima 1 passant par A ; le second la fait dépendre 

 de toutes les valeurs de U sur la surface S. On voit qu'il n'y a pas contra- 

 diction si Ton observe que, vue de A, Tintersection de S avec une surface 

 minima passant par A constitue presque toute la surface S (énoncé bien 

 connu dans le cas où la surface minima est un plan et où S est une sphère 

 de centre A ; un grand cercle constitue, à notre point de vue, presque toute 

 la sphère). 



Le théorème énoncé au début pourrait faire craindre que l'extension de 

 la notion de moyenne à l'espace fonctionnel manque d'intérêt. Nous 

 pensons, au contraire, qu'il n'est pas sans intérêt de constater l'extension 

 possible, avec des simplifications résultant toutes de ce théorème, des 

 théories relatives à la courbure des surfaces, au potentiel et aux fonctions 

 harmoniques. 



C. R., 1919, 2" Semestre. (T. 169, N" 8.) 5o 



