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- TT { i — ^ j ; celle du second membre de (i) est donc 



le second produit portant sur les diviseurs îô, premiers impairs ( >t), de P. 



Premier membre. — Laissons fixes / et c\ par hypollièse, X et Y sont des 

 entiers de ridéal]^., tels que l'entier ordinaire y^(X, ^ ) : (:)bl,.) soh premier 



Occupons-nous d'abord de cette dernière condition. 

 On a pu choisir T^, dans sa classe, de norme première à 2 A; donc 

 y)(X, Y) doit être premier à 2A. Si 



//= A\\o+B\oY+B„\VoH-CYV„. 

 on écrit 



A./;(\, V) = ( A\ + BY) (A\o+ B,Yo) + AVY,„ 



puisque le discriminant est A. 



i'' Si A est pair, comme on a pu supposer A premier à 2A, il faut cl il 

 suffit que AX h- BY soit premier à 2 A, Y étant quelconque. Or, le nombre 

 des entiers du corps i\P, distincts (mod2A) et premiers à 2 A, est le nombre 

 classique $(2A); d'ailleurs "^ peut prendre \1- valeurs distinctes (mod 2A); 

 puis, Y étant donné, AX 4- BY peut en prendre <I>(2A), et, par suite, le 

 nombre des systèmes de valeurs, distincts (mod2A), de X et Y, rendant 

 /i(X, Y) premier à 2 A, est 4 A' $(2 A). 



2'* Si A est impair, donnons d'abord à Y toutes les valeurs distinctes 

 (mod2A), non premières à l'idéal 2 : elles sont en nombre 2A-; \ étant 

 ainsi donné, AX 4- B\ peut prendre, comme tout à Tlicure, <1>(2A) valeurs 

 (mod2A); d'où, pour X et Y, 2A-<I)(2A) systèmes, mod 2 A. Donnons 

 maintenant à Y les 2 A- valeurs (distinctes mod2A) et premières à l'idéal 2; 

 AX -h B\ doit être premier à A et non premier à 2, et peut ainsi prendre 

 2tï>(A) valeurs distinctes (mod2A); comme 2 (D(A ) =: <T>(2A), du moins 

 pour Peeei, 2 (mod '1), on trouve, pour X et Y, en tout, 4A-^I>(2A) sys- 

 tèmes (mod 2 A), comme dans le cas de A pair. 



Dès lors, les valeurs de X et Y rendant f/ (X, Y) premier à 2 A formeni 

 '|A-^(2A) systèmes, du type 



(3) X = a-i-2Ai'; Y — y -t- 2 An-, 



y. et Y fixes dans chaque système; v et \r entiers quelconques du corps /VP. 

 Mais il faut de plus que X etY soient de l'idéal I^.. Or, on peut, dans (3), 



