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6. Application à la représentation . — Bornons-nous à deux exemples : 



1° P = I, A = lo; une seule classe improprement primitive, celle de la 

 forme (2, i -f- «", i — /, (j), quiaç'wa^rdaulomorphies. On en conclut par (8), 

 que m étant premier à 10, le nombre des représentations réelles 



} m = \2 + Y- + I o Z- -f- I o T- 



est quatre fois la somme des diviseurs de m, proposition qui revient à un 

 théorème de Liouville. 



1° P = 7, A = [ : une seule classe d'idéaux; une seule classe positive, 

 primitive, de discriminant i, celle de la forme xa;„-t-j^„, qui a quatre 

 automorphies. On conclut du n° .") que, m étant impair, le nombre des 

 représentations réelles l\m = \-H- 7 Y- -h Z-4- 7T-, pour lesquelles X -h Y 

 est pair, est quatre fois la somme des diviseurs, premiers à 7, de m. C'est 

 un théorème obtenu analytiquement par MM. Klein et Fricke ('). 



7. Décompositions d\in nombre impair en une somme de six carrés. — En 

 étendant aux formes d'Hermite ternaires, du corps y— i, la théorie clas- 

 sique de la représentation par une forme ternaire réelle, on arrive aisé- 

 ment à ce qui suit. 



Pour représenter m positif, impair, par la forme 



on cherche les représentations /^rcy^re^ par F (qui coïncide avec son adjointe ) 

 d'une forme d'Hermite, f =z (a, b, />o, c), posilixe, proprement ou impro- 

 prement primitive, de discriminant m. Observant que toute forme ternaire 

 positive de discriminant i équivaut à F, et que F admet 96 automorphies, 

 on reconnaît facilement, par l'application des pri'^.cipes de Gauss el de 

 Stephen Smith, que, /' étant donné et admeltanl /' automorphies, le 

 nombre des représentations propres de f par F est égal à y? N . où 



N' désigne le nombre des solutions distinctes, \, Y, de la congrucncc 

 X- -h Y- + a^Eo (moàm). 



Or, d'après Hermite, si m T=^p^p"^' . . ., on a 



dès lors, on en conclut que le nombre des représentations propres de m 

 par F est qGN'^] tt/' c'est-à-dire 96iX'[M(w) -t- M,(/?2)|. 



(') Fonctions modulaires, l. 2. p. 400. 



