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nouveau, après suppression du facteur - en évidence dans ('i3) (Noie précé- 

 dente, n'' 3, in fine), on trouve le premier membre de ( 1 1), où x, y, z sont 

 multipliés par c, 4- •/;/; chassant enfin le dénominateur 96 'V _!_, on obtient 

 la relation finale 



(i5) V r-(x, Y.z):=,6 V_L_, . V (zi.' ) A _4y j_.y (-ii^)' 



^-^ j.^ /t'-i .^\ n II- jLu n- jmmi \ /i I n'-^ 



X, Y, Z étant des entiers quelconques du corps y — i, tels que F(X, Y, Z) 

 soit impair, et n parcourant tous les entiers positifs impairs. On conclut 

 immédiatement de (i5) que le nombre des décompositions de /??, impair, 



en une somme de six carrés, est le produit de la somme V ^/^^ (^ ), étendue 



à tous les diviseurs r/ de /;z, par la quantité 16 ( ^— '- ) — 4, qui est 12 ou — 20, 

 selon que /;z ^2 I ou 3 (mod4). 



C'est là, d'un théorème classique, facile à obtenir ajuilytiquemenl par les 

 fonctions elliptiques, une démonstration arithmétique nouvelle; elle a 

 l'avantage de ne reposer ni sur la notion de genre^ ni sur les propriétés des 

 formes quadratiques quinaires. De plus, la même méthode s'étend aux 

 formes d'Hermite ternaires générales; en particulier, elle permet d'établir 

 des théorèmes, énoncés par Liouville sans démonstration ( ' ) sur les repré- 

 sentations de m par les formes 



0C- + y-+ z--^L^^ ■2{u--\^ i---) cl 'i{x-+ v^+ ;-+ r-) H- u"- -^ c-. 



Je pourrai, j'espère, revenir sur ce sujet. 



ASTRONOMIE. — Sur quelques étoiles dont le mouvement propre annuel total 

 est supérieur à o ", ^. Note (-) de M. Eugène Cosserat. 



Depuis quelques années, l'Observatoire de Toulouse a entrepris un 

 certain nombre de recherches systématiques se rattachant à son Catalogue 

 photographique et relatives, soit à la détermination des positions des 

 étoiles, soit à Tétude des grandeurs, de la forme, de l'aspect et de la consti- 

 tution des images. 



L'état d'avancement de la publication du Catalogue photographique de 



( ') Joiirn. de Malli., 2^ série, l. 9, 1864, p. 2.37 et 270. 

 (-) Séance du 2.") août 1919. 



