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la sommabilité (C, ^) de la série (i) aux points frontières .r = ±i et Ton 

 déduit des théorèmes de la Note précédente (' ) les corollaires : 



1. Soif (r — ./•■-) ''\/(-^)\ inlégrahle dans ( — i, + i ); si f\x) devient 



infinie au point .r -— — i [.r = 4- i] d'oindre y„< "^ ' et est à r aviation 



bornée dans l'intervalle ( i — s, i )[( — /,£- r )|, /r/ série {i) pour ^^ = h- i 

 [ic= — i] est sommahle ((], X) a^ec la somme f(\ — o) |/(o — i )|. Pou/- 



Y„^ j la série n est pas sommable (C, A). 



Supposons que/(.r) est à variation bornée dans ( — i, 4-i), sauf les 

 voisinages des points intérieurs x,,{k"^i) et d'un des points frontières 

 ^„ = — I [r„ = -h I |, où elle est de la forme A/,(\r — .r/, )-^'!- = C/, (.r ) ou de 

 la forme A,,\o^{.i: — x,,) -h 9/,(a:) (/^L'o), ?/.(-^) étant à variation bornée. 

 Alors on a : 



2. Au point .r = -h I f.r = — i], la série (i) est sommahle (C, o >> X — i ) 

 avec la somme f{\ — o ) f /(o — i)J, si ii r intérieur de ( - i , -h i ) f(x) n'a 



que des infinis logarithmiques et si y^, ^ - ; si - <^ y,, <^ -^ , elle Vcst 



(C, o<;X) yjoM/- G >> Oo , o// Oo(o,, «<[AJ est le plus granl des nombres 

 ^^ + T/f — I e^ 2 Yo — I ; enfin elle n est pas sommable ( C, o ,: o„). 



Par exemple, la série de Legendre ( X = - j de f{x ) n'est pas sommable 



(C, - j au point j- = i, ûf{x) pour r = — [ devient infinie d'ordre y„ ;: t' 

 converge ( o = o), si f\x) devient infinie à Tintéricur de ( — i , + i) et au 

 point X ■= — \ d'ordre y/, << -? et diverge si l'un quelconque des y/, est i: 7- 

 Mais si l'on veut étudier la sommabilité (C, g) de (i) à l'intérieur de 

 l'intervalle ( — i, -4- i) pour of o (-), il vaut mieux employer une méthode 

 directe, basée sur les propriétés suivantes de la moyenne arithmétique 

 d'ordre — S,f "(0, 'x.) — de la série 



(^) 2Îi^i:(«+>.)îIi^l'>(c„s'.)l.,;.(co.,K 



C) Comptes rendus, l. t()!), 1919, p. 32>. 



(-) La sommabilité (C, "> o) est éludiôe dans la Note aux Comptes rendus. 

 t. IG'i, 1917, p. 778. 



