SEANCE DC I""'' SEP'IEMBRE Ujly. ^2^) 



I. Pour I — 9 1 1^ î >» o, o <^r^ Ji s- — r^ et o <; // ^ a << 3 1, - — r/, on a , 

 quel (|ue soit « — - o, i , . . . , y::, 



C, 



(.ino)'-|S;«-''(5, 9)|<C, et 



f ' S;y{9,o){s\n^jydo 



< 



II. Quel que soit o>- — I, on a, pour r^ Ofr: — "/', et o^ a >< [i <-, 



Mm 7,^.(5) = lim / <,;;-'-{i,o) 



(sill'j)-' flT'^ = 7 (O 



OÙ G- = o pour <^ a ou >> [ÎJ, t — i pour y. <^ ()<^ |i et 7 = - pour — a, |'4 ; 

 lim 1,'' (0 ) =: o uniformément pour r^ ^ ^ y. — £ et |î + s !;: <7: — r,. 



Ifl. Pour Yj ;^6f t: — ■/;, £ !^ a -< ^3^?: — £ et o> — i on a, quel que 

 soit 71 = o, ï, ..., 



k,f(^)l<c,. 



A l'aide de 1 on démontre le théorème, qui se réduit, pour A — -> au 

 théorème de Hobson (') : 



Si /Çx) est à variation bornée autour du point x = Xf^\— \ <^ r^ <^ ')j ^^ 

 développement (i ) converge pour .r ==^ .r„ 6"/ a pour somme 



^[/('^o— o)4-/(.'-,^o)]. 

 > — I 



pourvu que ( j — x'- ) '^ f{ x ) soit intégrahle dans ( — i , -h i). 



On démontre ensuite que, pour jo: j = | cosO| << i et 0^2^ — / — r , 



liml',f'(.r) = lini j ( cos^ ) '' S,f "'■ ( 9, 9) (siii 9)-^' f/'j = ... 



Mais, si of'jy —A— i, V^li-v) oscille sans tendre vers une litnite détciminée, 

 et l'on voit que la série (i) n'est pas sommahle ( C, <^A) partout à l'inté- 

 rieur de l'intervalle ( — i, -f- 1), si J\x) devient infinie en un point fron- 

 tière X = ± i d'ordre v^^ Le cas particulier = o a été indiqué 



par Darboux (^). 



Soit maintcnanty'(x) à variation bornée dans (— i, -h i), sauf les voisi- 



(') Proceect. L. Malli. Soc, 2" séiie, i. 7. iQor). p. .5 1 

 (-) Journal (te Liouçille, 3* série, l. i. 1878. 



C. P... Kjtg, ^^ Semestre. (T. IGO, N" 9.) 



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