SÉA.NGB DU 8 SEPTEMBRE I919. '15 1 



le produit | I s'étendant aux diviseurs premiers impairs (^ i), m. de P, el 



la somme ^ à tous les diviseurs (positifs) f/, de A, y compris 1 . 



3. Volume non euclidien de (©. — Faisons, dans (5), 5 = 2H-p; multi- 

 plions les deux membres par p et égalons leurs limites pour p = o. 



Second membre. — Je dis que la limite est zéro pour tous les termes de V, 



sauf pour celui qui répond à/? = i, ou, ce qui revient au même, qu'on a 



Il m 07 ( - ) — -— = o. 



Posons, en effet, V =^ pp' \ soient gt,, ct!,, ... les diviseurs ^ore/TZï'eri' im- 

 pairs (>- 1), dey^'; on a 



<e) ^y.{^)^-^{^:)i^n 



w 1 



p ) w'p+' 



V et n parcourant respectivement les entiers positifs premiers à 'ip et à 2 P. 

 Il suffît, pour le voir, de remplacer chacune des deux sommes 1 par son 

 expression en produit, en n'oubliant pas que P n'a pas de facteur carré 

 autre que i. Tout revient donc à établir que le premier membre de (G) 



a zéro pour limite; or, il s'écrit p^ ( ^ j ^^^^i £ étant +1 ou — i selon que 



/j £EEE I ou 3 ( mod 4)- Mais, p étant > i et sans diviseur carré, il résulte de 

 l'analyse de Dirichlet que la somme — a une valeur finie pour p = o; et 

 dès lors son produit par p tend vers zéro. 



Reste donc, au second membre de (5), le terme qui répond à/) = i ; on a 

 pour sa limite (après multiplication par p), en utilisant un résultat 

 classique de Dirichlet, 



(7) 





cT désignant tout diviseur premier impair O i) de P, et n tout entier 

 (positif) premier à 2 P. Telle est la limite, pour le second membre 

 de (5). 



Premier membre. — Nous avons à considérer les formes d'Hermite 

 (A, ..., C), telles : 1° que, A et C n'étant pas pairs à la fois, le discrimi- 



