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nant AG — B' — PB' soit premier à 2P; 2° que la forme soit positive et 

 réduite. 



Supposons (F abord F ;eee i (mod 4). 



Il y ^, pour les parités de A, B^, Bg, C, si l'on veut que le discriminanl 

 soit impair et que A et C ne soient pas pairs à la fois, six cas possibles, 

 comme on le voit aisément. 



D'autre part, la congruence A = AG - B; — PB; e^o (mod crr), où m 

 désigne un quelconque des diviseurs premiers (impairs) de F, a, on le 

 reconnaît de suite, ro^* solutions en A, B,, B„ G; la non -congruence 

 A ^ o (mod m) en a donc (mod m) m' — o* ; il en résulte immédiatement 

 que le nombre des systèmes A, ..., G distincts (mod F), tels que A soit 

 premier à 2F et A et G non pairs à la fois, est le produit 



(8) 



6 J J ( m^ - 07^) ou 6 ]^ '^ TT r 



I — 



w 



Gonsidérons un quelconque de ces systèmes; nous aurons 

 (9) A = a + 2P«; B,= [3i^2Pri; B^^ ,3, + 2 P r, ; C=y + 2P<r, 



les a, p,, Y étant fixes, et u, v^, v.^, w désignant des entiers ordinaires quel- 

 conques. 



11 faut maintenant que la forme Axx^, -h. . . -h Cyy,, soit positive et 

 réduite; on aura donc d'abord A > o, et l'on exprimera que le point repré- 

 sentatif de la forme, c'est-à-dire le point X, Y, Z, défini par 



(.0) X=-|; Y=_^^P; i,^v/AC-B;-PB|^ 



appartient au domaine cô, d'où certaines relations, 



(il) G,(X, Y, Z)>o. 



Gela posé, A, B,, Bo, G étant du type (9), et vérifiant (11), ainsi que 

 A > o, il faut chercher la limite, pour p = o, de la somme 



(12) 2pl.(AG-B^I-PB^)-==-P, 



étendue à ces valeurs de A, ..., G. Farmi les réduites correspondantes, 

 celles qui ont leur point représentatif à l'intérieur de (D admettent seu- 

 lement deux automorphies (x'=zx,y=zy; £ = ±1); en sorte que, pour 

 elles, k = 2., 



