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ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soient trois polynômes 



F = cicJc' 



Oi a:'' 





{in\^ n '=zn'). 



Prenons un polynôme inconnu P de degré h quelconque, et des poly- 

 nômes inconnus Q, Q' de degrés respectifs m-\- h — îi, m -h h — n' . 

 Les conditions (C) pour Texistence d'une identité 



FP 4_GQ-i-G\)'=o 



sont linéaires et au nombre de m + /^ -h i entre 



h + i -\- {m -\- h — n -\- \) -\~ {ni -\- Il — «' + i ) := 2 /;i 



3 A 



inconnues homogènes, savoir les coefficients de P, Q, Q', et la matrice des 

 coefficients de ces inconnues est 



M 



Cl m 



I col. 



bn 



in^li — n-'rx ni-hh — n'-\-i 



m -\- h + \ lignes. 



Théorème 1. — Si F, G, G' sont sans diviseur commun en .r, si ron nu 

 pas «„ = />Q = Cq = o, e^ si l on suppose h au moins égal an — i , la matrice M 

 a son rang maxime (en d'autres termes, M n'est pas nulle). 



En effet, choisissons deux polynômes, 



+ w^œ' 



w' X'"-"' -+- iv', x'"-"'- ' + ..., 



tels que a^^-h {\\b^^ + ^v'^c^^ soit différent de zéro et qu'en même temps le 

 résultant de F -h trG et G' soit distinct de zéro. D'après un théorème 

 connu, on peut satisfaire â ces deux conditions, même par des valeurs 

 entières de w[^ et des coefficients de (^v, car elles ne sont pas vérifiées par 

 toutes les valeurs de ces coefficients. 



Effectivement, <7|, + (ï\, 6„ H- ip'^c,, n'est pas toujours nul, puisque, par 

 hypothèse, «„, />„, c,, ne sont pas tous nuls. Et le résultant de F + \vG et 

 de G' ne s'évanouit pas, quel que soit <^; en efTet, d'une part, les premiers 

 coefficients de F -f- (vG et G' ne sont pas toujours nuls; et, d'autre part. 



