SÉANCE DU 8 SEPTEMBRE I919. 46l 



ces deux polynômes n'ont pas, quel que soit w, un plus grand commun 

 diviseur D en x, car D divisant G' serait indépendant des m^, et, en posant 

 F-}-(pG = Dcp, on aurait une relation identique entre deux fonctions 

 de (T'„, iv,, ..., a?, fonctions qui, égalées terme à terme, montrent D 

 divisant séparément F et ( î ; ceci contredit notre hypothèse suivant 

 laquelle F, G, G' n'ont pas de diviseur commun en x. 



Les polynômes iv et a' ayant été choisis comme il vient d'être dit, 

 F H- <vG -t- (v>'G' et G' n'ont pas de diviseur commun en ce, car un tel 

 facteur diviserait F H- (ï^G et G'. De plus, F -h wG -+- w'G' et G' n'ont pas 

 leurs premiers coefficients tous deux nuls. 



Si donc, contrairement à notre thèse, la matrice M pouvait être nulle, il 

 en serait de même de cette matrice, transformée par addition de colonnes, 

 de manière à s'appliquer aux trois polynômes F h- «G -h w'G', G et G'. 



Or, si h^n' — 1, la matrice partielle N, obtenue en effaçant, dans M 

 transformée, les colonnes relatives à G, a au moins autant de colonnes que 

 de lignes, car alors 



m -\- 2 /i — n' + 2 d m -\- /i -+■ n'—- \ — n' -\' 2 = m -h /i ~\- J ; 



les déterminants les plus élevés qu'on en peut extraire s'obtiennent par sup- 

 pression de colonnes et sont nuls si M = o; et si N est carrée, elle est un de 

 ces déterminants. Mais l'évanouissement de N est en contradiction avec ce 

 que nous avons établi, dans notre article cité, pour deux polynômes 

 F 4- ivG H- w'G' et G' qui n'ont pas de diviseur commun, ni leurs premiers 

 coefficients nuls. 



Théorème II. — Si F, G, G' rendus homogènes ont un plus grand commun 

 diviseur de degré a et si h^ n' — c/. — \ , la matrice M est de rang m + A + i — a. 



Les quotients y, g, g' de F, G, G' par leur plus grand commun diviseur 

 sont de degrés m — cl, n — a, n — a et n'ont pas leurs premiers coefficients 

 nuls. Alors le nombre m -i- h -+- 1 — a des conditions (G) relatives k /, g, g' 

 est inférieur, de / unités par exemple, au nombre 2.m — n — n' -+- Mi -h 3 

 d'inconnues, car h étant un entier, positif ou nul, supérieur à n' — a — 2, 

 on a aussi ih'^ n' — ol — 2, d'où 



2 m — n — n' -^ i/i -t- 3 > 2 m — n — n' + /i -h n' — a — 2 + 3 

 z= m -h /i -\- i — a + ( m — n), 



et cette dernière expression est supérieure à m + /i h- i — a. 



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