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Ainsi les identités /P -h §"Q -+- g'Q'^^o sont possibles de ce' manières, 

 car il y a /inconnues de plus que d'équations et la matrice des coefficients 

 n'est pas nulle, attendu que le théorème I est applicable aux polynômes/, 

 g, g', puisque ceux-ci sont sans diviseur commun et que h^n' — a — i. 



Or toute identité/P -i-gQ-\- g'Q'^o en donne une FP -h GQ + G'Q'^o 

 elvice versa; donc ces dernières sont possibles de oc^ manières et la matrice M 

 concernant F, G, G' est de rang 



2 m — /i — n' -{- 3 h — 3 — l z=z m -\- li -^ i — a. 



Récii'KOQUE des théorèmes I ET II. — si la matrice M est de rang 



m -\- Il -\- \ — a 



et si h^fi— I , les polynômes, rendus homogènes, ont un plus grand commun 

 diviseur d'ordre cl en x. 



En effet, les polynômes ont un diviseur commun en x^ car s'ils n'en 

 avaient pas, comme h^n' — i, le théorème I serait applicable et M serait 

 non nulle, contre l'hypothèse. 



Si le plus grand commun diviseur est d'ordre [5l, comme hln' — i et 

 a fortiori ^a/ — [^— i, le théorème II est applicable et le rang de M est 

 m -f- A H- I — [3, d'où [3 = a. 



Remarques. — I. Pour h := n' — i, on a la matrice la plus utile pour les 

 applications ; on peut l'appeler matrice résultante. 



II. L'extension à plus de trois polynômes se fait par induction complète. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE . — Sur la solution principale d'une certaine 

 équation aux différences finies. Note (') de M. N.-E. J\6rluni>, transmise 

 par M. Appell. 



1. Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 

 i8 août 1919, j'ai étudié l'équation 



(I) G(.r4-o,) -HG(.^.•) -2 9(x), 



!p(.27) étant une fonction qui admet une dérivée d'ordre m telle que la série 



(') Séance du 25 août 1919. 



