SÉANCE DU 8 SEPTEMBRE 1919. 463 



converge uniformément. J'ai défini la solution principale G(x\m) par une 

 limite double qu'on peut, par exemple, écrire comme il suit : 



(2) G(x| (0) = 2 lim > ( — ly (^{a; ^ s(ji)e^'^f\ 



r, — -^^ 



Cette limite est égale à la somme de la série 



00 



(3) 22(—0-'? (-2:4-500, 



5=0 



si elle converge. Mais, le plus souvent, cette série diverge. Pourtant la 

 limite (2) existe toujours et elle définit une solution de l'équation (i) qui 

 est une fonction continue de œ et de w, tant que co reste positif. Mais, con- 

 sidérée comme fonction de co, elle admet, en général, le point w = o comme 

 point singulier. Pourtant, quand co tend vers zéro par des valeurs positives, 

 G(x\(û) tend toujours vers une limite et l'on a 



liiii G{jc j oi)) = ^{a:). 



(0=0 



On peut indiquer d'une manière plus précise comment se comporte 

 notre solution au voisinage du point 00 = 0. De ce cjui a été dit dans la 

 Note susdite il résulte qu'elle se développe suivant les puissances de co de 

 la manière suivante : 



m— 1 



v = n 



En général cette série sera divergente, mais elle est une série asympto- 

 tique en co. Elle représente la soUuion principale asymptotiqiiement pour les 

 valeurs positives et très petites de co. 



La série (4) possède encore une autre propriété remarquable. Soit 

 maintenant co un nombre fixe. Quand x tend vers l'infini, la fonction 

 G(a;|co) ne tend, en général, vers aucune limite. Mais on démontre que 

 le terme reste Fi,„ de la série (4) tend vers zéro quand x tend vers l'infini. 

 La série (4) nous donne donc un renseignement très précis sur la manière 

 dont se comporte G(^|co) pour les valeurs positives et très grandes 

 de X. 



2. De l'expression (2) on peut déduire deux autres expressions qui 

 représentent la même fonction et qui sont d'une application plus facile. 



