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Soit A un nombre tel que oSh^oi. On démontre que 



G(.r I w) = lii 



p — i >ii— i 



2 



D'autre part, la somme de la série divergente (3) peut se représenter par 



une série convergente. On trouve 



V r^ i- = 



où Ton a posé 



;« — 1 



Si l'on pose /i = o ou h — - ces deux expressions se simplifient. 



3. Voici enfin une autre série convergente d'une nature bien différente. 

 En désignant par X^'^Çx), A^(p(^), ... les différences successives, formées 



avec l'intervalle to, on déduit de l'expression (2) que 



4. La fonction G (x \ w) peut se représenter par une série trigonométrique 

 de la forme 



(5) G(.r oj)= > a^s+i cos h b^s+i sm • 



Ce développement est valable dans l'intervalle Xo<^x'<C.^o-+- tu, si l'on 

 détermine les coefficients comme il suit : 





cos,-^-^ o(z) 6''^^^ dz, Z^^.= — lim/ sin '—^ o(z)e-''^'ds. 



On démontre aisément que ces deux limites existent. On peut aussi 

 exprimer les coefficients par la somme d'un nombre fini de termes et une 

 intégrale convergente. On trouve par exemple, si m est pair, 



m — 1 



