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telles que le plan oscillateur en un point quelconque M cVune courbe intégrale 

 soit le plan P correspondant. 



Les courbes intégrales situées dans un plan quelconque Q sont déter- 

 minées par une équation différentielle du premier ordre, sauf dans le cas 

 où toutes les courbes de ce plan seraient des courbes intégrales. Il faudrait 

 pour cela que le plan Q fût lyi-même une intégrale à deux dimensions de 

 l'équation (2). Ces plans dépendent au plus d'une constante arbitraire et 

 cela seulement dans le cas où l'équation (2) est complètement intégrable et 

 admet pour intégrale générale une famille de plans. Le plan Q ne satisfaisant 

 pas à celte condition, le plan P correspondant à un point arbitraire M de 

 ce plan est distinct du plan Q et le coupe suivant une droite D passant 

 par M. La courbe intégrale du plan Q qui passe en M doit être tangente à 

 à la droite D; de plus, d'après l'énoncé même du problème, le plan oscu- 

 lateur en M à cette courbe doit être à la fois le plan P et le plan Q. Ce plan 

 osculateur est donc indéterminé et, comme le point M est un point arbi- 

 traire du plan Q, il s'ensuit que ces courbes intégrales sont des lignes 

 droites. Dans chaque plan, il y a donc une infinité de droites, dépendant 

 d'une constante arbitraire, qui sont des intégrales de l'équation (2). Si le 

 plan Q varie, il est clair que l'on obtient un complexe de droites satisfaisant 

 à l'équation (2). Les droites de ce complexe qui passent par un point M de 

 l'espace sont évidemment situées dans le plan P correspondant, et récipro- 

 quement toute droite D du plan P passant par M appartient au complexe, 

 car elle coïncide forcément avec la courbe intégrale passant par M qui est 

 située dans un plan Q passant par la droite D. 



Nous sommes donc ramenés au problème suivant : Trouver tous les com- 

 plexes de droites, pour lesquels le cône du complexe relatif à un point quel- 

 conque de l'espace est un plan. 



Ce problème admet deux solutions bien distinctes. Soit A une droite 

 quelconque du complexe. Si le plan P correspondant à un point M de A 

 tourne autour de A lorsque le point M parcourt cette droite, on voit aisé- 

 ment que le complexe est complètement déterminé quand on connaît les 

 plans P,, P2, P, correspondant à trois points non en ligne droite M,, M^, 

 M3. Il coïncide donc avec le complexe linéaire déterminé par ces trois 

 points et les plans polaires P, , Pj, P3. 



Si le plan P reste le même quand le point M décrit une droite du com- 

 plexe, toutes les droites de ce plan font partie du complexe et le plan P 

 lui-même est une intégrale de l'équation (2). Cette équation est alors 

 complètement intégrable et admet pour intégrale générale une famille de 



