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rences finies 



F(.r + i) — F(.r)=:v.r''-<, 



V étant un entier non négatif. En effet, on sait trouver un polynôme qui 

 satisfasse à cette équation. Ce polynôme est du degré v et il est déterminé 

 à une constante arbitraire près. On appelle polynôme de Bernoidli le poly- 

 nôme Bv(^) qui satisfait à l'équation 



B.,(./' + J) — B,,(.r) = v.r'-' 



et qui, pour x — o, est égal au nombre de Bernoulli B,- On voit aisément 

 que 



\ = 1 



M. Appell a donné une extension de ces polynômes en considérant des 

 polynômes analogues qui dépendent de deux variables. Je me suis servi très 

 utilement dans plusieurs problèmes d'une classe de polynômes voisins de 

 ceux de M. Appell et voisins de certaines fonctions étudiées par M. Barnes, 

 Soient co,, w^, ..., co„, n nombres quelconques. En partant des nombres de 

 Bernoulli B^, je définis une suite nouvelle de nombres B!/', B!/ , B!/', ... à 

 l'aide des relations de récurrence 



s — l 



Posons pour abréger 



0) 



En partant des polynômes de Bernoulli, je définis une suite nouvelle de 

 polynômes B!/ (a;), B!;'(.r), B'^^\x), ... par les conditions 



A,,,. BV" {:c) = V Bi/ii' ' ( ^ ), B.7' ( o ) = B;/". 



Pour achever la définition je pose B," {x)=^x'. On a donc, en parti- 

 culier, 



A;.',„. ..,,„„ B</"(.r) = v(v - i) . . . (v - n + i)œ''". 



Je dis, par extension, que B;/"(.t) est un polynomede BernouUi d'ordre n. 

 De l'équation ( i ) il résulte que le polynôme de Bernoulli s'exprime par les 



