SÉANCE DU 2 2 SEPTEMBRE I919. 323 



nombres B;/" comme il suit : 



.-■ = 



et l'on voit aisément que les B," s'expriment à leur tour par les nombres 

 de Bernoulii de la manière suivante : 



^"'"'~^ Tu"! — rr^-^'*''^^ • • • ''-'"^'J^^'î' • • • '"'"^ 

 — -^ ■' 1 • •^ 2 • • • • "' « • 



la sommation étant étendue à toutes les valeurs entières, positives ou nulles, 

 de^,, i:2, •• -, s,, qui vérifient la condition s^ + s.j.-i- . .. -h s„=: v. 



Les pol;ynomes d'ordre n s'expriment linéairement par les polynômes 

 d'ordre inférieur à n. En effet, considérons l'équation aux différences 



A,'f,„...,,,„F(.r)==9(")(^), 



cp^"'(.^) étant la dérivée d'ordre n d'un polynôme cp(ci?) de degré v. Cette 

 équation admet une solution de la forme 



.y = V 



On en conclut que les polynômes de Bernoulii satisfont à la relation 



.s- = 



X et j étant des nombres quelconques. En particulier, si p = o, il vient 



[l y a avantage à introduire des polynômes d'ordre négatif en les définissant 

 ainsi : 



'^^""^<-'-> = (VtW'" '■'•-"^"- 



La relation (2) subsiste, que n el p soient positifs ou négatifs. Soit, en 

 particulier,/; --- — n et posons y = o, il vient 



