SÉANCE DU 11 SEPTEMBRE 1919. 52.5 



On saura démontrer qu'une corrélation midtiplicaloire (' ) existe entre le 

 système (P) et le système (-) 



Si l'on résout le système (J,) par rapport aux variables ^,,, ..., a?,,, et 

 qu'à l'aide de ces solutions on élimine :r,,, . . .,0?,,^ des équations de (J.), on 

 obtiendra un nouveau système que nous désignerons par le symbole (Jj. 

 Après avoir rationalisé les équations de (Jj, on trouve que les coefficients des 

 résultantes sont des fonctions rationnelles et entières des p dont la dispari- 

 tion est la condition nécessaire et suffisante pour l'existence de solutions du 

 système (P') qui n'annulent pas tous les déterminants delà matrice (a). 

 Le même tbéorème est vrai pour le système (P) parce que (P) et (P') sont 

 en « corrélation multiplicatoire ». 



Considérons un système d'équations du troisième ordre analogue à (J,)* 

 Prenons la première et la deuxième polaire de cbaque équation à l'égard de 

 tous les points (W) et nommons (Q) le système total formé de ces trois sys- 

 tèmes partiels. On trouvera immédiatement qu'une forme canonique tout 

 à fait semblable à la forme (P') existe. Aussi la même forme canonique existe 

 quand on considère le système du quatrième ordre. A l'aide de cette forme, 

 on saura construire les conditions sous lesquelles : 



i" Un polynôme du deuxième ordre se décompose en deux facteurs 

 linéaires ; 



2'' Un polynôme du troisième ordre se décompose en un facteur linéaire 

 et un facteur du deuxième ordre ; 



3° Un polynôme du quatrième ordre se décompose en un facteur linéaire 

 et un facteur du troisième ordre. 



11 ne faut, pour obtenir les conditions ci-dessus, que résoudre respective- 



(') \oir HioL'iER, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles (p. 271) pour 

 la signification de ce mol. 



(-) A,.^„^,l = (— i)'M,.^„+,, où M,;,i+\ est le mineur de .r,.^„+, dans le détcnninanl 



' '•" \,/=i, 2, ..., n, n-hi J 



pour (r = I, 2, . . ., n), avec ^n+l,n+\ = Mn+l,n+i- 



