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5° Le mouvement plan admettant un axe de symétrie ('), cas limite des 

 deux inoLivemenls précédents. Ce nouveau mouvement comporte, 

 comme le précédent, au moins un choc des deux corps symétriques, peut 

 comporter un nombre fini ou infini de tels chocs, et sous une condition 

 d'égalité comporte un choc des trois corps. La distance des deux corps 

 symétriques n'a pas d'autres minima que les minima nuls correspondant 

 aux chocs de ces deux corps ou des trois corps. En outre, les deux autres 

 distances mutuelles ne peuvent avoir de minima arbitrairement petits 

 qui ne soient pas nuls. Par suite, le mouvement considéré peut être 



représente par des séries de puissances entières de la quantité -^^ , où 



a désigne une constante et u la variable de M. Sundman, ou encore la 



variable de M. Levi-Gività, / \} dt, (J étant la fonction des forces ( -). 



Le mouvement plan avec axe de symétrie, comme le mouvement recti- 

 ligne, dépend de quatre paramètres en dehors des masses. Les trajectoires 

 de chacun de ces mouvements sont déterminées par une équation difîéren- 

 tielle du second ordre, ou du premier ordre (et une quadrature) si la con- 

 stante des forces vives est nulle. La théorie des nœuds, cols et foyers 

 s'applique aisément à ces équations et permet d'étudier dans une certaine 

 mesure les successions de chocs, les solutions périodiques, la stabilité du 

 mouvement. Abstraction faite du problème des deux corps, ces deux cas 

 particuliers apparaissent comme les dégénérescences les plus simples du 



(') Ce derniei- mouvement a été considéré déjà par Gorjatscheff, ^^'oronelz et 

 Bohlin [cf. RoBtuTO Marcolongo, // probleina dei Lie cor pi da ISewlon ai noslri 

 giorni {Maniiali llœpli, Milano, 1919), Notes 01. 70 et J51]. 



(^) En prenant I V d( comme variable indépendante, et en clioisissant convena- 

 blement les variables définissant la position des trois corps, M. Levi-Civilà a rétabli 

 la forme canonique des équations (cf. Comptes rendus, t. 1C2, 1916, p. 625). Il est à 

 remarquer que, si le mouvement aboutit à un choc des trois corps, ou si les trois corps 

 deviennent infiniment voisins, la variable de M. Sundman croît indéfiniment, tandis 

 que celle de M. Levi-Gività reste finie; si d'ailleurs le mouvement peut être prolongé 

 analytiquement au delà d'un clioc des trois corps, il suffit, pour conserver l'uniformité, 



de remplacer la variable / U dl par une de ses racines, /(, désignant l'instant du choc. 

 Remarquons enfin que, si les trois constantes des aires dans le mouvement par rapport 

 au centre de gravité ne sont pas nulles, la variable / Ur//, comme la variable de 

 M. Sundman, croît constamment et indéfiniment avec le temps. 



