568 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



nombre positif 5 tel que les inégalités 



|x'-^|<o. |y_j|<r}, j-'_-|<ô 

 entraînent 



(4) i4'^'(^'.y,5')-'M-^'»7'>-')l<s» 



^ étant lim ^,, pour les points de E. Or on peut recouvrir E au moyen d'un 



nombre fini de domaines 



|x'-x|<ô, |y_y|<.}, |;'_..|<ô, 



correspondant aux points de E de la manière indiquée. Parmi un nombre 

 limité d'indices supérieurs à N on peut donc, pour chaque point de E, en 

 choisir un, de manière à satisfaire à (4); c'est-à-dire que la suite (2) con- 

 verge quasi uniformément sur E. 



La condition est suffisante. En effet, considérons deux suites de points 

 dans (Q, Xf, œ.,, ... et j,,y., ... ayant toutes les deux pour limite un même 

 points de (D. L'ensemble (^'j^ykj -) forme, avec le point .r = j = ::, un 

 ensemble borné et fermé E. Nous supposerons ^'a:^ z,y^^z, (X = i, 2, ...). 

 Alors la suite (2) converge quasi uniformément sur E. Cela a pour consé- 

 quence que 



iim 



/,=cc 



Donc, sur toute suite {xi,)[xi,^ z, \\mx^^ z^, le quotient 



s'approche d'une limite finie pour X: = :c. Donc /"(^) a une dérivée en 

 tout point z de (D. Le tiiéorème est démontré. 



II. D'une manière analogue, on démontre le théorème suivant : 



Si les fonctioîu de la suite (1) J\, f.^, ... sont holomorphes dans (t), si la 

 suite converge en un point de cD, et si la suite 



^"(■^'^) = :;—r^ 



converge quasi uniformément sur C ensemble (^x,y~)^ x et y appartenant à (D, 

 alors la suite (i) converge vers une fonction f , hôlomorphe dans dD. et Von a 



Vimf„{z)=/'{z) 

 en tout point de CD. • 



