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remént par n polynômes d'ordre un. On trouve, en efï'et, 



.V = 



En développant le polynôme de Bernoulli en série de facultés, on trouve 



(3) B-/' (.r + j) =2 ( s) ''•'- (y)'^i^ -,)...{.,:-. s), 



X et y étant des nombres quelconques. Les relations (2) et (3) sont vraies, 

 que l'ordre n soit positif, nul ou négatif. En posant x =■ o dans Téqua- 

 tion (2) on trouve, entre les nombres B.^' , la relation suivante : 



( 4 ) Hv" "" ' * - ^'^-^ J^v" ' - V B,'i', . 



n 



On a en outre B|" = i, quel que soit Ji. il en résulte que B,/' est un poly- 

 nôme en n du degré v. Mais alors une extension nouvelle se présente 

 naturellement à Tesprit, extension qui n'avait pas de sens dans le cas 

 général. Jusqu'ici l'ordre n a été essentiellement un entier. Mais, en déter- 

 minant les B;"' comme nous venons de le dire, on peut s'afTranchir de cette 

 restriction et considérer n comme une variable continue. L'équation (^l\) 

 définit ainsi une classe nouvelle de polynômes qui sont indispensables dans 

 l'étude des séries de facultés ( '). 



ANALYSE MATHKMAI IQUE. - Sur la représ3iitalion analytique des Jonctions 

 de plusieurs variables coniplexes. Note de M. StoÏlow, présentée par 

 M. Appell. 



1. Dans un Mémoire paru en 1882, M. Appell (-) a le premier essayé 

 d'étendre aux fonctions de plusieurs variables le théorème de M. Mitlag- 

 Leffler, sur la formation d'une fonction uniforme d'une seule variable avec 

 des singularités données à Tavance. Plus tard M. Pierre Cousin (^) a repris 

 la question à un point de vue très général et en a fait plusieurs applications 

 importantes. Mais le théorème de M. Mittag-Leffler a encore une autre 



(') Cf. ma Noie présenlée dans la séance du 4 mai 1914. 

 ('-) Acta Matliematica, t. 2, 1882. 

 (^) Acta Mathematica, l. J9, iSgS. 



