6l2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



fonctions de Y uniformes et holomorplies autour de l'origine, l'origine elle- 

 même pouvant être un point singulier. On aura donc 



F(\.Y)= 2^2 A,,V' + F,(X.Y) 



où les A// sont des constantes; on peut donc réduire successivement les sin- 

 gularités de F( X, Y) qui passent par l'origine. D'autre part, les sommes 

 infinies qui apparaissent ainsi dans l'expression de F(X, \ ) convergent 

 pour toutes valeurs finies non nulles de X et de Y . 



3. Ceci étant, revenons maintenant à /(^, j). A chaque point P corres- 

 pondront un nombre limité de séries de la forme 



(I) ^{ax-^by + cy V i^a'x+b'y + cy 



dont la somme représentera une fonction différant de /"(^,j) par une fonc- 

 tion holomorplie en P. 



Considérons maintenant un point ordinaire àe J\x, y), soit O. Nous 

 pourrons ordonner par rapport à ce point les multiplicités singulières de 

 manière que leur indice d'ordre augmente avec la distance minima de la 

 singularité à O. Soit ni l'indice de l'une de ces multiplicités singulières. 

 Considérons ceux des points P qui se trouvent sur cette multiplicité sans 

 être en même temps sur une multiplicité singulière dontl'indice serait < ;/«. 

 Tous ces points peuvent être ordonnés d'une certaine manière, par exemple 

 suivant la distance qui les sépare d'un point fixe de la même multiplicité. 

 Chaque point P aura ainsi deux indices par les valeurs desquels il 

 sera parfaitement déterminé. On pourra alors suivre exactement le raison- 

 nement bien connu de M. Mittag-Leffler pour le cas d'une seule variable et 

 exprimer par conséquent J (x,y) par une somme de séries (1) et de poly- 

 nômes en X et jK. On en aura ainsi une représentation analytique au moyen 

 de fonctions rationnelles, valable dans tout l'espace à quatre dimensions 

 de X- e t y ( ' ) . 



(') Cerlains types de f(jnclions que M. Appell a étudiés dans le Mémoire cité, ainsi 

 que les fonctions qui sont solutions uniformes des équations linéaires aux dérivées 

 partielles à caractéristiques linéaires et à coefficients fonctiims entières de x el y dont 

 je me suis occupé dans une Aote {Comptes rendus, t. 159, iQi^t P- 23i ) constituent 

 des classes particulières des fonctions étudiées ici. 



