SÉANCE DU 6 OCTOBRE I919. 6l3 



ANALYSE .MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations des é(juations linéaires 

 aux dérixées partielles à deux variables indépendantes. ÏNole ( ' j de 

 M. G. Cerf, présentée par M. E. Goursat. 



I. Je rappelle d'abord, en le précisant, un résultat que j'ai indi<{ué pré- 

 cédemment dans ce Recueil (- ) el qui sera développé dans un travail qui 

 paraîtra prochainement. 



Soient deux équations aux dérivées partielles d'ordre m et M (w ^ M) 



i fi-i'y y, '■ /'o,,«) — o, 



admettant /■ directions communes de caractéristiques. 

 Posons 



<)/ ( d'o !■ \ ^ ÙV ( cP^f 



^f-^'^^lôir. 



Ol),n^i,i \d.r"'-' dyi j ^^ ôpsv ys \d.r'^~ ' dy 



I = 



Des équations (i), au moyen de dilTérentiations et au besoin d'élimi- 

 nations, on peut, sauf circonstances exceptionnelles, déduire un ou plu- 

 sieurs systèmes que nous désignons par B' , d'ordre au plus égal à w -(- M — i , 

 complètement intégrables à condition que la relation 



(2) [./■•iM = o 



ei) soit consé(|ucnce algébrique, (^uand cette condition est satisfaite, nous 

 disons que les équations (i ) sont conjointes. Par exemple, si les équations(i) 

 sont du premier ordre et en involution, elles sont conjointes; elles sont 

 conjointes également si l'on en déduit une relation indépendante de p el c/ 

 définissant une ou plusieurs fonctions 3 de x cl y intégrales de (i 1. 



Dans le cas général, on peut indiquer une manière commode pour 

 former W qui évite de considérer des équations destinées à disparaître ])ar 

 Ja suite; elle n'exige pas que (i ) soit en conjonction: le nombre des équations 

 dî B'' et la façon de les obtenir ne dépendent pas uniquement de /". Lors- 

 q l'on sait a priori que (i) admet des solutions dépendant d'un nombre de 

 constantes arbitraires égal à celui des dérivées paramétriques de B', on est 

 assuré que les équations (r) sont conjointes et par suite qne (2 ) est consé- 

 quence algébrique de B'. 



(') Séance du 29 sepleiiibre 1919. 



(-) Comptes rendus^ t. I(j2, 1916, p. 552. 



