6l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ïf. Supposant que les équations (i ) soient conjointes, nous nous pla- 

 çons maintenant dans le cas où elles sont linéaires; la formation de B'" 

 n'exige naturellement que des combinaisons linéaires des diverses équa- 

 tions qui se présentent. Soient o et *\> deux fonctions de .r et/ et d'une 

 fonction j' de r et v, ainsi que de certaines de ses dérivées; la relation 



[/-cp,Fa>] = o 



est équivalente, moyennant B' déduit de ( i), à une équation en z . 



\\ résulte de là, en particulier, que la transformation :;' = F fait corres- 

 pondre à /= o une équation en z' : f -- o. Si la solution la plus générale 

 de (r) ne dépend que d'un nombre fini de constantes arbitraires, Tordre 

 dey = o est le même que celui de /":=o. 



Par exemple, soient 



/= i' -i- ap + obq + cz, F = /• + '/.f> + y. z + -jq -h ot, p ^ o ; 



si les équations / =o, F = o sont conjointes, elles admettent des solutions 

 dépendant de quatre constantes arbitraires; connaissant quatre solutions 

 linéairement indépendantes de/=o, on peut déterminer À, u., v, p de 

 telle façon qu'elles soient solutions de F = o, et par la transforma- 

 tion r- = F on transforme l'équation y* = o en une équation généralement 

 du second ordre en z\ ce qui rentre dans la tliéorie de Darboux. 



Lorsque y* = o est d'ordre supérieur à -2, en général une théorie analogue 

 ne s'applique plus; il existe cependant une classe particulière d'équations 

 de cliatjue ordre supérieur à 2 desquelles on peut dire qu'elles se compor- 

 tent comme l'équation de Laplace; nous n'indiquons les résultats que pour 

 le troisième ordre, la généralisation étant immédiate. 



III. Soit l'équation (') 



( 3 ) y ^ es -\- ft -^ gp + Irj + hz z=z o. 



< )n trouve deux catégories de transformations du premier ordre 



zJ^rj + lz, 



(|ui, appliquées à (3 ), lui font correspondre en général une équation du 

 troisième ordre, de même nature d'ailleurs : 



(') Equaliou à « caraclérisliqiies complètes » d'après M'"- L. I^isati ( //e/^c/Zc. Cire, 

 mat. Palermo, l. 20, i(>o5, p. Sljj); à caractéristiques >o ,, d'après la classification 

 de Sannia {Meinorie d. R. Accad. Se. di Torino, •2'" série, t. i'i, n" l:î). 



