SÉANCE DU () OCTOBRE 1919. Cn'> 



1'^ A est une solution de Téquation de lliccati ( ') 



(4) — -A-+e}.-,,.=o; 



2'^ X = — ^, z, étant une solution quelconque de (3). 



11 peut se faire que la transformée en z' soit du deuxième ordre. 

 En combinant entre elles des transformations du premier ordre, on 

 définil des transformations de la forme 



On montre que, si entre n + i intégrales linéairement distinctes de (3), il 

 existe une relation linéaire et homogène dont les coefficients ne dépendent 

 que de la variable x, après n + i applications au plus de transformations 

 du premier ordre de la première catégorie, on obtient une transformée du 

 deuxième ordre. 



Plus généralement, soit l'équation 



( 5 ) F (.-)=: X ; + >,, /Ai. , + . . . ^ .À„ Po.n H- (J-lPl .u + l^-lPî.o + . . . 4- l->-,n-lPm-i,o 



Si les équations (3) et (j) sont conjointes, le nombre des dérivées para- 

 métriques du système B' correspondant est au plus égal k im -\-ii — s'^W 



est égal à ce nombre si, selon que m est supérieur ou inférieur à «, — L^izl 

 ou -^^ ne satisfait pas à (4 ); dans le cas contraire, le nombre considéré est, 



en général, égal k im 4- « — 3. Connaissant im -\- n — 1 solutions de (3) 

 linéairement distinctes, on peut déterminer les A, ;j., v pour que (5) les 

 admette également comme solutions; la transformation z' =. F fait corres- 

 pondre à ( 3) une seule équation ; si Ton ne connaît que ini + /i — 3 solu- 

 tions de (3), on choisit, par exemple, — '^^^^^—^ parmi les solutions de (4) 



et l'on déterminera ensuite les autres rapports (en prenant n < m). 



Pour la détermination de z au moyen de z\ on est ramené à l'étude de la 

 méthode de la variation des constantes qui s'applique à l'équation (3) 

 comme à l'écjuation du deuxième ordre. 



(') M. Le llouN. {Bull. Soc. math. Fr., t. 27, 1899, p. 237) a envisagé,, dans le 

 cas général, des transformations de cette nature; M™^" L. Pisati a montré que dans le 

 cas particulier envisagé ici, à (3) correspond une seule équation. 



