SÉANCE DU l.-) OCTOBRE li)l[)- ^^^ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur une famille de fondions multiformes, 

 intégrales d'une équation différentielle du premier ordre. Noie (') de 

 M. Pierre Bouïroux, transmise par M. Hadamard. 



J'ai indiqué (-) comment l'étude des fonctions multiformes définies par 



/ , ) c-c/ = 3 w ; -t- 2 x'-' -^ bx -\- c 



conduit à considérer un ensemble de substitutions relatives au paramètre C, 

 qui figure dans le développement 



( 1 ) zz=: X- + mx — dc\eloj)p. en pia'ss. de a-' f^t de (C, -t- Yi, log\r).i' -, 



représentant, pour .r .= 'x. Tune des deux familles (la première famille) de 

 branches d'intégrales r. J'ai en outre construit, pour les grandes valeurs 



de |G,|, les « branches de fonctions substitutrices », '^.(C,), etc. ('), qui 

 engendrent le groupe /o/rt/ des substitutions considérées. Je vais compléter 

 l'étude de ces branches et déterminer les singularités. 



Les fonctions j, sont définies par des intégrales définies de la forme 



(2) 



.:.,(C,) = c,-^3/;« / zd. 



r étant un contour fermé issu de.r = -x et r l'intégrale de (i) qui, à l'origine 

 du circuit, correspond à la valeur C, du paramètre. Pour les grandes valeurs 



de |C, I et pour la branche particulière ']>, (C, ) de 'J/, sur laquelle nous fixons 

 notre attention, r est un circuit enveloppant f/mr zéros (ou points critiques ) 



de z.. D'ailleurs, lorsque C, varie, ces deux points critiques se déplacent, et 

 si l'on veut éviter que ces points, ou d'autres points quelconques de la 

 branche z suivie, ne viennent à se trouver sur F, on devra faire subir à 

 celui-ci une déformation continue. Or, dans ces conditions : 



1° Lorsque C, varie d'une manière quelconque (à partir d'une valeur de 

 grand module;, le contour Y ne devient jamais indétermmé; 



2« Tant que ce contour peut être déformé de telle sorte que s soit holo- 



(') Séance du •.î<) septembre 19 19. 



(^) Comptes rendus, t. 108, 1919, p. iiSo el ion 



{'■') . . .. ' 



surmonter d'un accent circonflexe la lettre qui désigne la fonction. 



Je conviens, lorsque je considère une Jjranclie particulière d'une fonclion, de 



