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morphe en tous ses points, la fonction '^, définie par (j) est holomorplie; 



3" Dans un cas seulement la déformation de F ne peut pas satisfaire à la 



condition ci-dessus : savoir lorsque le chemin F se trouve pincé entre deux 



points critiques de la branche suivie, qui viennent à coïncider comme 



pour une période d'intégrale elliptique / \i*{jo, C,)dx (P polynôme en x 



du quatrième degré, C, paramètre) lorsque C, prend une valeur pour 

 laquelle P(.x, C,) a une racine double en r et qu'une racine préalablement 

 située à Tcxtérieur du chemin d'intégration vient coïncider avec une racine 



située à l'intérieur . D'ailleurs, en ce cas, les points critiques confondus 



coïncident nécessairement avec l'un des trois points singuliers transcen- 

 dants de l'équation différentielle (i) [racines de :v^ = b.r -h c], et l'on 

 constate que le chemin F ne peut se trouver obligé de traverser un de ces 

 points [pour ('):: = o] que dans les circonstances suivantes : 



On sait que (sauf pour des valeurs exceptionnelles des coefficients a?2, b, c) 

 l'équation (i) admet en l'un quelconque (a) de ses trois points transcen- 

 dants deux branches d'intégrales particulières nulles et holomorphes, R,a 

 R^a- Il faudra, pour que F ait à traverser le point a, que l'intégrale z coïn- 

 cide, au voisinage de ce point, soit avec R,^» soit avec Roa- Plus précisé- 

 ment, celte intégrale sautera de R,a à Roa (ou inversement) lorsque F 

 passera par a. On déduit de là : i° que les valeurs de C, pour lesquelles 

 ceci se présente sont des valeurs isolées, C, ; 2° que ces valeurs Cj 

 sont (sauf pour des valeurs exceptionnelles de m, b, c) des singularités 

 transcendantes de '];,(C,); 3*^ enfin, que reflet d'une circulation de C, 

 autour d'une singularité C\ est le suivant : appelons C, une valeur voi- 

 sine de C^ et F la figure correspondante du chemin d'intégration F; 

 lorsque C,, après avoir décrit un tour autour de C, , revient en C,, le 

 chemin F revient à la figure F augmentée d'un petit cercle de centre a 

 [exactement comme pour le chemin définissant une période de l'intégrale 

 elliptique considérée plus haut lorsque C, tourne autour d'une valeur pour 

 laquelle P{t, C,) a une racine double a : ledit chemin s'accroît d'un petit 

 cercle enveloppant les deux racines de P voisines de a, en sorte que la 

 période envisagée augmente de la valeur d'une autre période de l'intégrale |. 



Considérons, pour nous placer dans un cas simple, une équation (1) où 7n 

 a un petit module (par rapport à |cl) et où b = o. Posant :■- ~ Z,et suivant 



( ' ) liappelons que les singularités de z se jDrésenlent (seulemenl) aux points où ^ rrz o. 



