SÉANCE DU l3 OCTOBRE 1919. ^^7 



une intégrale représentée au voisinage de .v ^ co par (I), nous avons 



(3) Z-^''-i-2C.r + 7 + 6m /' V^f/.r, où g =. 2cm -^ :>nr - 2C,. 



Pour q égal à une valeur 7/ de grand module, jCJ est grand, et nous 

 savons que la branche d'intégrale correspondante a quatre zéros .t.. ...,x,, 

 comparables aux racines de a-_^ q. Appelons .r,, . . ., ^v, les zéros de Z qui 

 varient à partir de .77, ..., ..-, pour ./ variant sur les rayons issus de .y. 

 Désignons, d'autre part, par r/„ . . ., q, les irois valeurs de q pour lesquelles 

 le polynôme P = -r" + icx -^ q a une racine double coïncidant avec 1 u..e 

 des racines a, . . ., 7 de sa dérivée. Cela posé, si m ^- o, et si Von a conve- 

 nablement distribué les indices i, ..., 4, on constate que les couples de 

 points (^„ ^..), ..., O^n -^-O tendent respectivement, le premier vers a 

 lorsque q tend vers r/„ . . ., le troisième vers y lorsque q tend vers ry,, tandis 



que les points .r , oc, restent distincts de a, ?, 7 lorsque q len ligne 



droite à partir de y) tend vers toute autre valeur. Les choses se passent de 

 la même manière pour m voisin de o et Ton en dédui^ce qui suit en appe- 

 lant 0=", . : ., G/ les valeurs de C, correspondant à r/ ~ 7^, ■ . ., q^ • 



Dans le plan C. armé de trois coupures rectUignes jolgnanl C/ , . . ., C';' a 

 l infini, considérons les trois hranclus de fonctions '|,(G0, •••» '{^:.*C,) ^'^s- 

 pectivementégalesàC,-i-3mJl s^Zdx, ...,C,^3mJ^sZd.v, ouY,,, ...J\ . 



sont des circuits issus de a- = ^ ./ enveloppant resperti.emenl les points 

 (^ ^ ) (r .X,). Les branches sont uniformes dans le plan coupe, 



chacune d:eaes ne cessant d\ullrurs cCêtre hohmorphe qu'en deux dcs^ trois 

 points Gf, .... Appelons (S,), ••., (S.) ^'^ substitutions IC, ■!.. (G,) I, • • -, 

 I G., 'hX maintenant définies pour toute valeur de G,. La multiplication de 

 ces substitutions et de leurs inverses fournira la totalité des râleurs ^e G., 

 attachées à une même intégrale ('). DmUeurs, si G. tournait autour d un 

 point singulier (soit Cf) de '].": [par e,:emple\, (S.) .. changerait en h pro- 

 duit ^. (S. ) par (S,) oa (Sr ) [comme il arrive pour la période d intégrale 

 elliptique à laquelle se réduit (S, ) pour m = o]. 



(■ ) Comptes rendus, l. 1G8, 1919, p. i3o7. 



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c. R., 1919, 2" Semestre. (T. 169, N" 15.) 



