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On a donc 



où les Ri sont les nombres premiers compris dans V intervalle (p, q — i), 

 et N désignant un nombre entier. L'intégrale I étant positive, on a ainsi 

 le résultat suivant : 



La partie décimale de V intégrale l(p, q) est égale à i — o, oii o dé- 

 signe zéro suivi, comme partie entière^ de la suite des décimales de la 



somme 7 — • 



La partie décimale de la somme ^ — peut donc se calculer à l'aide de 



l'intégrale l(p, q). Ce qui présente un intérêt particulier dans ce résultat, 

 est le fait que l'intégrale I ne contient, en fait de paramètres, que les deux 

 limites entre lesquelles sont compris les nombres premiers envisagés. 



Pour que V intégrale l(p, q) soit un nombre entier, il faut et il suffit que 

 rinterçalle {p,q— i) ne contienne aucun nombre preînicr. Il en sera, par 

 exemple, ainsi pour 



OÙ k désigne un entier arbitraire. 

 2. Comme l'on a 



(6) \{p,q)—l V[L, p^q — \)e-'dt, 



'-'0 



où P(;, /), q) désigne le polynôme 



(7) - H h...^ -, 



/> p^l q 



l'intégrale définie simple (6) jouit également de la propriété arithmétique 

 précédente. Ceci n'est, d'ailleurs, qu'un cas particulier de la propriété 

 arithmétique suivante de l'intégrale 



(8) H{k,m) = l \\l)l''e-'cU. 

 où P(/) est le polynôme 



( 9 ) a,-\-rfi/ + r/..r-^ ... -h ci,,, f" 



et /• un entier positif donné plus grand que 4 : 



